Sul modello del teorema di Wilson

[HiTLeuLeR]

Problema #1: sia $ n $ un intero $ > 2 $. Per ogni $ k=1, 2, \ldots, n-1 $ ed ogni $ r = 1, 2, \ldots, n-1 $, poniamo $ \displaystyle{p_{k}^{(r)} := k(k+1)\ldots(k+r-1)} $. Provare allora che $ n $ è primo sse: $ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1} p_i^{(r)} \equiv 0 \bmod n} $, $ \forall r=1, 2, \ldots, n-2 $.

Boooh... Non so che dirvi! Gli esperti a cui mi sono rivolto attribuiscono il tutto all'andropausa, o almeno... così mi è stato diagnosticato dall'illustrissimo dottor manub!!!

[Simo_the_wolf]

Problema #1: sia $ n $ un intero $ > 2 $. Per ogni $ k=1, 2, \ldots, n-1 $ ed ogni $ r = 1, 2, \ldots, n-1 $, poniamo $ \displaystyle{p_{k}^{(r)} := k(k+1)\ldots(k+r-1)} $. Provare allora che $ n $ è primo sse: $ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1} p_i^{(r)} \equiv 0 \bmod n} $, $ \forall r=1, 2, \ldots, n-2 $.

Boooh... Non so che dirvi! Gli esperti a cui mi sono rivolto attribuiscono il tutto all'andropausa, o almeno... così mi è stato diagnosticato dall'illustrissimo dottor manub!!!

Ovviamente $ \displaystyle p_{k}^{(r)} = r!\binom {k+r-1}{k-1} $ e quindi
$ \sum_{i=1}^{n-1} p_i^{(r)}=r! \sum_{i=1}^{n-1} \binom {r+i-1}{i-1} = r! \binom {r+n-1}{n-2} = \frac {(n-1)n(n+1)\ldots(n+r-1)}{r+1}} $.
Se n è primo ovviamente quella quantità è multipla di n in quanto $ r+1<n $. Se invece n non fosse primo prendiamo r tale che r+1 è un primo e $ r+1|n $. Tra gli r+1 interi n-1, n, n+1, ..., n+r-1 c'è solo un intero divisibile per r+1 cioè n. diciamo che la massima potenza di r+1 che divide n sia $ \alpha $ e indichiamo con $ (r+1)^\alpha||n $ allora abbiamo che $ \displaystyle (r+1)^{\alpha-1}||\frac {(n-1)n(n+1)\ldots(n+r-1)}{r+1} $ i.e. $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} p_i^{(r)} \neq 0 \bmod n $.

[HiTLeuLeR]

Ok, Simo, mooolto bravo! Come (quasi) sempre, del resto...