probabilità elementare

[chiara85]

mi rendo conto che i miei problemi di probabilità saranno una banalità rispetto a quelli già pubblicati... sono proprio agli inizi, perciò giustificatemi!!

qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questi due esercizi?

1)Giovanni e maria seguono un corso di matematica, il cui esame finale prevede solo tre punteggi: A,B e C. la probabilità che giovanni prenda B è pari a 0.3, la probabilità che maria prenda B è pari a 0.4, la probabilità che nessuno dei due prenda A ma almeno uno dei due prenda B è pari a 0.1. qual è la probabilità che almeno uni dei due prenda B ma nessuno prenda C?

2)Nel 1600, alcuni giocatori chiesero a Galileo Galilei di spiegare perché, nel lancio di 3 dadi, la somma 10 si presenti con maggiore frequenza di 9, nonostante sia 10 che 9 si possano ottenere come somme di 6 terne distinte de interi tra 1 e 6.
Verificare che effettivamente l’osservazione dei giocatori era fondata.

[JackSparrow]

Per il primo problema: chiamiamo $ a_1 $, $ b_1 $, $ c_1 $ le probabilità che Maria prenda rispettivamente A, B o C; analogamente $ a_2 $, $ b_2 $ e $ c_2 $ per Giovanni (ovviamente si avrà $ a_1+b_1+c_1=a_2+b_2+c_2=1 $). Abbiamo perciò:
$ b_1 $ = 0,4
$ b_2 $ = 0,3
La probabilità che almeno uno dei due prenda B ma che nessuno prenda A è data dalla somma delle singole probabilità dei diversi casi che rispettano tale condizione, ovvero $ b_1c_2+b_1b_2+c_1b_2 $; analogamente la probabilità richiesta dal problema sarà data da $ b_1a_2+b_2a_1+b_1b_2 $, quantità che chiameremo $ k $. Osserviamo ora che la somma delle probabilità di tutte le possibili combinazioni di voti dovrà essere pari a 1, ovvero $ a_1a_2+a_1b_2+...+c_1c_2=(b_1c_2+b_1b_2+c_1b_2) $$ +(b_1a_2+b_2a_1+b_1b_2)-b_1b_2+(a_1+c_1)(a_2+c_2)= $$ 0,1+k-0,12+(1-b_1)(1-b_2) $$ =k+0,42-0,02=k+0,4=1 $, da cui $ k=0, 6 $.

[JackSparrow]

Per il secondo problema: le sei terne che permettono di ottenere 10 sono: 541, 532, 442, 433, 631, 622
Quelle che permettono invece di ottenere 9 sono: 621, 522, 531, 441, 432, 333
Consideriamo adesso ogni terna non più come combinazione ma come permutazione, ovvero contiamo ogni terna per il numero di diversi ordini in cui si possono presentare i numeri che la compongono; in questo modo otteniamo 27 diverse terne che danno come somma 10, mentre solo 25 che danno somma 9 (in particolare perché il 9 è dato dalla terna 333, che si presenta una sola volta anche cambiando l’ordine dei suoi elementi). È quindi per questo che si otterrà più facilmente una somma pari a 10, in quanto lanciando i dadi due terne formate dagli stessi numeri posti in ordine diverso sono da considerarsi distinte.

[Sir Yussen]

Impostandolo il primo problema "tutto di un botto", viene tranquillo. Ma qui sorge per me un assurdo:
Utilizzando la "notazione" di Jack Sparrow, abbiamo che
$b_1c_2 + c_1b_2 + b_1b_2 = 0.1$
Ma ecco l'assurdo:
$b_1c_2 + c_1b_2 + 0.12 = 0.1$
$b_1c_2 + c_1b_2 = -0.02$

e chiaramente, ciò è impossibile visto che i b_i e c_i sono ovviamente positivi. Sbaglio qualcosa..?