Teorema della farfalla

[karl]

Credo siano pochi quelli che ignorano questo teorema e le sue molteplici
dimostrazioni.Lo ripeto (con una variante) :
Sia AB una corda di una ellisse ( o di una qualunque conica [anche degenere] )
ed M il suo punto medio.Due rette per M taglino l'ellisse in (C,D) ed (E,F);
le rette FD e CE taglino AB in P e Q .Dimostrare che M e' punto medio di PQ.
Una possibile dimostrazione si potrebbe (forse!) basare sulla equivalenza proiettiva
di tutte le coniche e percio' quello che vale per una circonferenza vale per una
qualsiasi altra conica. Un invito ad una dimostrazione piu' esplicita.

[bh3u4m]

Si potrebbe tentare visto che siamo in "Matematica non elementare" una dimostrazione analitica, parto da una generica retta ax+by+c=0 tale che intersechi in due punti l'ellisse $ \frac {x^2}{\alpha^2}+\frac {y^2}{\beta^2}=1 $.
A questo punto trovo i punti di intersezione ed il punto medio, prendo il fascio di rette passante per esso e verifico che per qualsiasi inclinazione i punti ottenuti P e Q siano equidistanti da M...
E' una dimostrazione bruttissima e piena di conti, poi vedo se ne trovo una migliore.

[Catraga]

Potrebbe funzionare, ma non penso che sia la soluzione più corretta. Anche perchè crolla di fronte all'assunto: "per ogni conica, anche degenere." Penso serva qualcosa di più forte. Forse se si utilizza il fascio di coniche generale per quattro punti FCDE, si ottiene qualcosa, magari con la polarità.

[info]

Non ci ho provatona nemmeno un secondo (e non credo che lo farò) ma faccio una domanda utile alla comunità. Perchè il quesito è stato postato in matematica non elementare e non in geometria?
Del resto pare un problema risolvibile con normale geom euclidea (ecco la domanda, lo è?)... ma ovviamente non avendo provato non sò stimare la difficoltà...

[darko]

lo si potrebbe risolvere con l'algebra superiore o lineare, ad esempio...[/tex]

[Catraga]

Lineare? Stiamo lavorando con coniche, quindi equazioni omogenee di secondo grado in tre incognite. Non vedo come il problema si presenti lineare.
Non mi sembra il caso di scomodare teoremonzi di geoemtria algebrica per un problemino sulle coniche. E' sufficiente utilizzare le proprieta' della polare. Per completare la dimostrazione mi basta dimostrare che la il polo di AB, la tangente alla conica parallela a AB, in C, ed M sono allineati. Oppure che le rette DF e CE che si incontrano in H, il polo di AB ed M sono allineati... c'e' puzza di Desargues....

[MindFlyer]

c'e' puzza di Desargues....

Sarà perché nel 1600 si lavavano 2 o 3 volte l'anno, quando andava bene...

[Catraga]

[karl]

Siano K,I ed N le intersezioni delle 3 coppie di rette
(DF,EC),(FC,DE) ed (AB,KI) rispettivamente [in realta' N
risultera' improprio].
Il quadrangolo (completo) FDEC ,inscritto nella conica ,ha
il triangolo KMI come triangolo autopolare rispetto alla conica
medesima e dunque KI e' la polare di M.
La retta AB,che passa per il polo M,taglia allora la polare KI
nel punto N tale che sia (ABMN)=-1,ovvero (AM/BM)/(AN/BN)=-1
e poiche' AM/BM=-1 ne segue AN/BN=1 e cio' ci dice che N e'
all'infinito (vale a dire che AB e KI sono parallele).
Dualmente le rette KD e KE separano armonicamente KM e KI;
ne deriva che la retta AB taglia queste 4 rette nei punti P,Q,M ed N
tali che sia (PQMN)=-1 ovvero
(PM/QM)/(PN/QN)=-1 .Ma N e' all'infinito e quindi PN/QN=1 e da cio'
segue che PM/QM=-1 da cui PM=-QM=MQ .
C.V.D.