Generalizzando alcuni IMO-problems

[HiTLeuLeR]

Volevo presentarvi alcune personalissime generalizzazione di tutta una serie di problemi assegnati alle passate edizioni delle Olimpiadi Internazionali (della Matematica, naturalmente). Chissà che non gradiate...

Problema #1: provare che, per ogni primo naturale $ p $ ed ogni $ k\in\mathbb{N}_0 $, esistono infiniti primi naturali $ q $ tali che, comunque scelto un $ n\in\mathbb{Z} $: $ q \nmid (n^{p^k} - p^k ) $. (generalizzato sulla base del problema IMO 2003 #6).