direi che te la sei cercata : ecco la mia mano.
Dieci di Cuori (Osservazione preliminare) : Siano E,F sottospazi affini di dimensioni 0<m_1<=m_2<n tali che $ dim(E\cap F)=m_1-1 $. Allora
la somma diretta di E ed F è l'unione di tutte le rette che passano per coppie di punti distinti (P,Q) con P in E e Q in F ed è un sottospazio affine di dimensione m_2 + 1.
Dimostrazione lasciata al gentile pubblico. (qui serve char(K)=!=2)
Jack di Cuori : Una tale f trasforma sottospazi affini di dimensione m in sottospazi affini di dimensione m (ovvero è un'omografia).
Per ipotesi questo è vero per le rette; procediamo per induzione sulla dim del sottospazio.
Sia L un sottospazio affine di K^n con dim(L)=m >1.
Scegliamo in L il riferimento affine $ \{P_0,P_1, \ldots, P_m\} $ e sfruttiamo l'ipotesi induttiva sui sottospazi $ M_i=<P_0,\ldots,\hat{P_i},\ldots, P_m> $, dove il cappuccio indica l'omissione. Ovviamente dim(M_i)=m-1 quindi f(M_i) è un sottospazio affine di dim m-1 per ogni i; indichiamo con M'_i l'immagine di M_i. Ovviamente, $ dim(M_1\cap M_2)=m-2\geq 0 $ e per la carta precedente L è uguale all'unione di tutte le rette che passano per coppie (P,Q) di punti distinti con P in M_1 e Q in M_2. Quindi f(L) è l'unione delle immagini di queste rette, ovvero è l'unione delle rette per coppie di punti (P',Q') t.c. $ P'\neq Q' $, $ P'\in M'_1 $, $ Q'\in M'_2 $. Ma questo, ancora per la carta precedente, è un sottospazioaffine di dim m. Quindi f(L) è ssp aff di dim m.
Donna di Cuori : Fissato O, esiste $ \psi : \mathbb{K}\to\mathbb{K} $ tale che per ogni P diverso da O, per ogni t in K, $ f(O+t\overline{OP})=f(O)+\psi(t)f(\overline{OP}) $
Definiamo, per ogni P diverso da O, $ \psi_P $ t.c.
$ f(O+t\overline{OP})=f(O)+\psi(t)f(\overline{OP}) $ per ogni t in K.
Sia Q un punto indipendente da O,P; in virtù della carta precedente, f trasforma il piano <O,P,Q> nel piano <f(O), f(P), f(Q)>; chiamiamo $ P(t)=O+t\overline{OP} $ e similmente definiamo Q(t). Ovviamente la retta per P e Q e la retta per P(t) e Q(t) sono parallele se t non è nullo e quindi lo sono anche le loro immagini; da questo si ricava che $ \psi_P(t)=\psi_Q(t) \quad \forall\ t \in \mathbb{K} $; quindi la funzione non dipende dalla scelta del punto P.
Re di Cuori : Fissato O, cmq presi P,Q tra loro e da O distinti, t.c. O,P,Q siano indipendenti, si ha
$ f(Q+t\overline{OP})=f(Q)+\psi(t)f(\overline{OP}) $.
Il punto $ Q+t\overline{OP} $ è l'intersezione delle rette $ Q+T_{\overline{OP}} $ e $ O+t\overline{OP}+T_{\overline{OQ}} $, dove T_F indica la giacitura vettoriale del sottospazio affine F (o il suo spazio tangente, equivalentemente).
I trasformati secondo f di queste due rette sono $ f(Q)+T_{f(\overline{OP})} $ e $ f(O)+\psi(t)f(\overline{OP}) + T_{\f(\overline{OQ})} $; quindi devono esistere a,b in K t.c.
$ f(O)+f(\overline{OQ})+af(\overline{OP})=f(O)+\psi(t)f(\overline{OP})+bf(\overline{OQ}) $
e per l'indipendenza di O,P,Q (e quindi delle loro immagini), $ b=1,\ a=\psi(t) $ da cui la tesi.
Asso di Cuori : $ \psi $ è un automorfismo del campo K.
Applicando il teorema di Talete (che vale in geometria affine) per rappresentare le operazioni di somma e di prodotto in maniera geometrica, si ottiene immediatamente che $ \psi $ rispetta somma e prodotto, mentre è ovvio che mandi gli elementi neutri in sè.
Sfruttando la penultima carta possiamo scrivere, posto (O, e_1, ..., e_n) come riferimento affine, che
$ f(O+t_1e_1+\ldots+ t_ne_n)=f(O)+\psi(t_1)f(e_1)+\ldots+\psi(t_n)f(e_n) $
Infine, notiamo che la f è un'affinità se e solo se psi è l'identità su K ovvero se e solo se f preserva i rapporti semplici su ogni retta.
Quindi l'affermazione è vera per tutti e soli i campi (con caratteristica diversa da 2) che possiedono un solo automorfismo; tra questi rientrano $ \mathbb{F}_p,\ \ \mathbb{Q},\ \ \mathbb{R} $ ma non C, nè i campi finiti con un numero non primo di elementi.
Ti ho convinto? Il piatto è mio?
