mmm... non capisco cosa non ti torni, provo a esprimermi meglio
innanzitutto osserviamo che l'ordine di numerazione degli X non influisce sul determinante, in quanto se ne scambio due, li devo scambiare sia sulle righe che sulle colonne, e quindi moltiplicare due volte per -1 il determinante, cioè lasciarlo invariato
cmq, ovviamente la matrice coincide con la sua trasposta
inoltre è possibile avere un ordine per cui la matrice ha appunto tutti uno sull'antidiagonale e anche sotto di essa, e inoltre ha tutti 0 subito sopra l'antidiagonale (ossia in tutte le entrate di posto (i, 2^n - 1 - i)). Se non sbaglio (non ho controllato bene) basta sceglierli così: l'ultimo è tutto l'insieme iniziale; il penultimo è il complementare del primo, il terzultimo è il complementare del secondo e così via, badando però ad inserire prima tutti i sottoinsiemi di 1 elemento, poi tutti quelli di 2, eccetera.
A questo punto si riduce con Gauss in questo modo: partendo da quella più a destra, ad ogni colonna sottraiamo la precedente. In questo modo abbiamo una matrice con tutti 1 sull'antidiagonale e 0 sotto. Non dovrebbe essere difficile verificare che matrici di questo tipo, e di dimensione congrua a 3 modulo 4 (questo in effetti non l'avevo scritto nel precedente msg, ma avevo erroneamente generalizzato a tutte quelle di dimensione dispari) hanno determinante -1. E in effetti 2^n - 1 è congruo a 3 mod 4 per n > 1
Ciao
