Tu pensi di poter dividere la funzione dei divisori?

[HiTLeuLeR]

Questo l'ho partorito in mattinata, divertitevi...

Problema #1: stabilire se esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ n \mid \sigma_1(n) $.

Un click ben assestato per ricevere qualche informazione utile.

[HumanTorch]

Nel sottocaso che la congruenza sia un'eguaglianza, si tratta di verificare il fatto che vi siano infiniti numeri perfetti.
Se non mi sbaglio ogni numero perfetto m è esprimibile come
[2^(n-1)]*[(2^n)-1],
dove 2^n-1 è primo: difatti la somma dei divisori ordine 1, detta S, è pari a [1+2+4+8+..+2^(n-1)]+[(2^n)-1]*[1+2+4+8+..+2^(n-1)]=
(2^n)*[(2^n)-1]=2*m: quindi, se m=m, m|(2*m), ovvero m|S per ogni numero perfetto.

[Vasya]

Ma se non mi sbaglio non è stato provato che i numeri perfetti sono infiniti...
By the way, HumanTorch, usa LaTeX quando posti formule matematiche...

[HiTLeuLeR]

Infatti è come dice Vasya, non è stato dimostrato - ad oggi - ch'esistono infiniti numeri perfetti. Certo un tentativo apprezzabile, HumanTorch, ma sfortunatamente tutt'altro che risolutivo! Su, ritenta...

[HumanTorch]

Ok, ecco qualcos'altro: sia A^a*B^b*C^c*D^d*.. il prodotto che conta 2n fattori primi A, B, C, D... e pari al numero in questione N.
La funzione "sommatoria dei divisori" è data da:

[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1]
______________________________________________________

(A-1)(B-1)(C-1)(D-1)...(M-1)

La dimostrazione si ricava dalla formula per la somma delle prime n potenze di m.
Ora:

A^a*B^b*C^c*D^d..M^m*(A-1)(B-1)(C-1)(D-1)...(M-1)|
[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1], ovvero
[A^(a+1)-A][B^(b+1)-B][C^(c+1)-C][D^(d+1)-D]..[M^(m+1)-M]|
[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1].
Quindi, posto F(N)=N^(n+1)-1, sia F(A)*F(B)*F(C)*F(D)*...F(M)=0 (mod N),
per l'omogeneità e la simmetria dell'espressione, si assuma che
A^a|[B^(b+1)-1]=>B^(b+1)=1 (mod A^a), il che è sempre vero se gcd(a,b)=1;
allo stesso modo procediamo con A, B, C...primi a due a due e con gcd(A,M)=1.
Da questo punto tirare le somme mi sembra facile...
Chiedo scusa per il disordine, ma qui il tempo scarseggia e devo scappare, e sto lentamente cominciando a far funzionare LaTeX .

[HiTLeuLeR]

[...] Ora, sappiamo che:
A^a*B^b*C^c*D^d..M^m*(a-1)(n-1)(c-1)(d-1)...(m-1) |
[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1]

Debbo supporre che le tue intenzioni fossero di scrivere $ (A-1)(B-1)(C-1)(D-1)\ldots (M-1) $ ?!? E poi che significa quel tuo "sappiamo che"?!? Devo interpretarlo come un "vorremmo che..."?!? Me tapino, non ci sto a capi' nulla...

[dario2994]

Ti odio definitivamente. Questo è una congettura aperta
http://oeis.org/A007691