TdN: derivate irragionevoli... ehm, volevo dire irrazionali!
TdN: derivate irragionevoli... ehm, volevo dire irrazionali!
Problema #1: sia $ X\subseteq \mathbb{R} $ l'insieme massimale di definizione della funzione reale di variabile reale assegnata ponendo $ \displaystyle f(x) := \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{x}{2^n}\right) $. Provare che: i) $ 1\in X $; ii) $ f(\cdot) $ possiede derivate di ogni ordine nel punto $ x_0 := 1 $; iii) per ogni $ k\in\mathbb{N} $, $ f^{(k)}(1) $ è un numero irrazionale; iv) avrete di che divertirvi per un po'.
Dimostriamo la convergenza puntuale della successione di funzioni.
Sia
$ a_n=\prod_{k=1}^n (1+\frac{x}{2^k}) $
Sia
$ \epsilon_n=a_{n+1}-a_n $
Si può verificare che:
$ r_n=\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}=\frac{1}{2}(1+\frac{x}{2^{n+1}}) $
e quindi:
$ $\lim_{n\to\infty}r_n=\frac{1}{2}$ $
Di conseguenza $ $a_n$ $ converge puntualmente per
$ \forall x\in$R $
Manca la verifica di convergenza uniforme
Sia
$ a_n=\prod_{k=1}^n (1+\frac{x}{2^k}) $
Sia
$ \epsilon_n=a_{n+1}-a_n $
Si può verificare che:
$ r_n=\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}=\frac{1}{2}(1+\frac{x}{2^{n+1}}) $
e quindi:
$ $\lim_{n\to\infty}r_n=\frac{1}{2}$ $
Di conseguenza $ $a_n$ $ converge puntualmente per
$ \forall x\in$R $
Manca la verifica di convergenza uniforme
Ultima modifica di rargh il 28 mag 2008, 14:30, modificato 1 volta in totale.
La convergenza della successione di funzioni $ \{a_n(\cdot)\}_{n\in\mathbb{N}_0} $, $ \displaystyle a_n(\cdot): \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}: x \mapsto \prod_{k=1}^n (1+\frac{x}{2^k}) $ in un punto arbitrario $ x_0 \in\mathbb{R} $ impone per necessità che la successione $ \{\epsilon_n(x_0)\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ degli errori sia infinitesima per $ n\to +\infty $, il che di certo non accade, là dove $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{\epsilon_{n+1}(x_0)}{\epsilon_n(x_0)} = \dfrac{1}{2} $. Rivedi magari i tuoi conti, caro, ed evita - se puoi - di scrivere una formula per rigo! Te lo chiedo come favore personale...rargh ha scritto:Dimostriamo la convergenza puntuale della successione di funzioni. Sia $ a_n=\prod_{k=1}^n (1+\frac{x}{2^k}) $. Sia $ \epsilon_n= a_{n+1}-a_n $. Si può verificare che: $ r_n=\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}=\frac{1}{2}(1+\frac{x}{2^{n+1}}) $, e quindi: $ \lim_{n\to\infty}r_n=\frac{1}{2} $ [...]
lemma: dati $ a_n $ reali positivi, $ \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} a_k < +\infty \longleftrightarrow \prod_{k=1}^{+\infty} (1+a_k) < +\infty $.
dimostrazione: supponiamo che $ \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} (1+a_k) < +\infty $, ovvero che la successione $ \displaystyle p_n = \prod_{k=1}^{n} (1+a_k) $ dei prodotti parziali converga (e quindi sia limitata). sviluppando i prodotti (o anche per induzione), si ha $ \displaystyle p_n > 1 + s_n = 1 + \sum_{k=1}^{n} a_k $. quindi $ s_n $ è limitata, e dunque converge.
supponiamo ora che $ \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} a_k < +\infty $, ovvero che la successione degli $ s_n $ converga. $ \displaystyle \ln p_n = \sum_{k=1}^{n} \ln (1+a_k) < s_n $, essendo il logaritmo una funzione concava. quindi $ \ln p_n $ è limitato, e lo è anche $ p_n $.
ora, in particolare, la produttoria euleriana $ \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} (1+\frac{x}{2^k}) $ converge (per $ x $ positivo) se e solo se converge la serie (geometrica) $ \displaystyle x\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = x $.
quindi in particolare converge per $ x = 1 $.
ok, detto ciò, osserviamo che $ \displaystyle f'(x) = \sum_k \frac{1}{2^k}\prod_{j \neq k} (1+\frac{x}{2^j}) $. per $ x>0 $ questa serie è maggiorata da $ f(x) $...
ora, lo so, bisognerebbe dimostrare che effettivamente la derivata coincide, però questo va oltre le mie capacità... almeno per ora!
au revoir!
dimostrazione: supponiamo che $ \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} (1+a_k) < +\infty $, ovvero che la successione $ \displaystyle p_n = \prod_{k=1}^{n} (1+a_k) $ dei prodotti parziali converga (e quindi sia limitata). sviluppando i prodotti (o anche per induzione), si ha $ \displaystyle p_n > 1 + s_n = 1 + \sum_{k=1}^{n} a_k $. quindi $ s_n $ è limitata, e dunque converge.
supponiamo ora che $ \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} a_k < +\infty $, ovvero che la successione degli $ s_n $ converga. $ \displaystyle \ln p_n = \sum_{k=1}^{n} \ln (1+a_k) < s_n $, essendo il logaritmo una funzione concava. quindi $ \ln p_n $ è limitato, e lo è anche $ p_n $.
ora, in particolare, la produttoria euleriana $ \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} (1+\frac{x}{2^k}) $ converge (per $ x $ positivo) se e solo se converge la serie (geometrica) $ \displaystyle x\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = x $.
quindi in particolare converge per $ x = 1 $.
ok, detto ciò, osserviamo che $ \displaystyle f'(x) = \sum_k \frac{1}{2^k}\prod_{j \neq k} (1+\frac{x}{2^j}) $. per $ x>0 $ questa serie è maggiorata da $ f(x) $...
ora, lo so, bisognerebbe dimostrare che effettivamente la derivata coincide, però questo va oltre le mie capacità... almeno per ora!
au revoir!
Baaah, davvero non capisco... 
Tutto questo darsi da fare solo per dimostrare la convergenza puntuale della produttoria?!? Ma loool! Ok, posso capirlo nel caso dell'ingegner rargh... Ma sant'Iddio, ma_go, tu sei un normalista!?! Ora, è universalmente noto che, se $ \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ è una successione di numeri reali positivi, la produttoria infinita $ \displaystyle \prod_{n=1}^{+\infty} (1 + a_n) $ è convergente sse è pure convergente la serie $ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1 + a_n) $, e quindi sse converge nondimeno la serie $ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_n $, come deducibile sulla base del criterio del confronto asintotico, posto di osservare che la convergenza della produttoria impone necessariamente che $ a_n \to 0 $ se $ n\to +\infty $. Ripeto: baaaaaah... E dire che credevo fosse il iii) il punto difficile da affrontare! 
Tutto questo darsi da fare solo per dimostrare la convergenza puntuale della produttoria?!? Ma loool! Ok, posso capirlo nel caso dell'ingegner rargh... Ma sant'Iddio, ma_go, tu sei un normalista!?! Ora, è universalmente noto che, se $ \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ è una successione di numeri reali positivi, la produttoria infinita $ \displaystyle \prod_{n=1}^{+\infty} (1 + a_n) $ è convergente sse è pure convergente la serie $ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1 + a_n) $, e quindi sse converge nondimeno la serie $ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_n $, come deducibile sulla base del criterio del confronto asintotico, posto di osservare che la convergenza della produttoria impone necessariamente che $ a_n \to 0 $ se $ n\to +\infty $. Ripeto: baaaaaah... E dire che credevo fosse il iii) il punto difficile da affrontare! Sia come sia, il proof del lemma che tu hai enunciato, ma_go, e la conclusione che ne hai dedotto sul conto dell'insieme di convergenza della produttoria $ \displaystyle \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{x}{2^n}\right) $ sono assolutamente ineccepibili, questo a giusto riconoscimento dei meriti che ti son dovuti! Per quanto riguarda poi le speculazioni (parecchie filosofiche!) tue e dell'altro sul conto del calcolo di certe derivate, beh... volendo essere buoni, diciamo che non meritano neppure di essere prese in minima considerazione! Il passaggio al limite sotto il segno di derivazione va provato: davvero vi riesce di credere che sarei disposto ad abbonarvelo?!? BUAHAHAUAHAH...
Sì.rargh ha scritto:Scusa un secondo, ma se il limite del rapporto di en è 1/2, allora la serie degli en è convergente no?
Sì, tieni proprio ragione! Mi ero intestardito come un mulo su un'idea del tutto sbagliata. Chiedo umilmente perdono...rargh ha scritto:Non basta questo per dimostrare la convergenza della successione di funzioni?
Grazie a te e a Evaristo per avermi indicato la via del bene!!! 
Vabbe', semel in anno licet insanire, no?!? Beh, poichè
$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{2^n} $ converge, allora il prodotto converge.
Inoltre, (1+x/2^n) è olomorfa per ogni n, quindi la convergenza assicurata è ad una funzione olomorfa su tutto C. Dunque derivabile nel punto 1; per il resto, sotto il teorema di Weierstrass sulla convergenza di olomorfe, la successione delle derivate dovrebbe tendere alla derivata (pure lei olomorfa) e così via...
Quindi ora c'è solo da calcolare la derivata n-esima in 0 e dire che è irrazionale ... insomma, sporca teoria dei numeri.
$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{2^n} $ converge, allora il prodotto converge.
Inoltre, (1+x/2^n) è olomorfa per ogni n, quindi la convergenza assicurata è ad una funzione olomorfa su tutto C. Dunque derivabile nel punto 1; per il resto, sotto il teorema di Weierstrass sulla convergenza di olomorfe, la successione delle derivate dovrebbe tendere alla derivata (pure lei olomorfa) e così via...
Quindi ora c'è solo da calcolare la derivata n-esima in 0 e dire che è irrazionale ... insomma, sporca teoria dei numeri.
Diciamo che ho dovuto leggiucchiare più di qualcosina, prima di poterti rispondere con un minimo di consapevolezza... Ora, assumo sia inutile dirti che le tue conclusioni sono inappuntabili. Permettimi tuttavia d'aggiungere che, per quanti non avessero familiarità con le ferraglie dell'analisi complessa, esiste una via puramene reale per arrivare alle stesse conclusioni.
In verità, il problema inizia giusto adesso! Tutto il precedente si deve ritenere nulla più che un esercizio da scolari diligenti, o se si preferisce un frugale, benché sapido, antipasto... Davvero saresti disposto, Evaristo mio, a perderti il piatto forte del menù?!? Ovvìa, finirò per pensar di me zelante che una volta in più mi son sciupato a dar perle in pasto ai porci...EvaristeG ha scritto: Quindi ora c'è solo da calcolare la derivata n-esima in 0 e dire che è irrazionale ... insomma, sporca teoria dei numeri.