matrici simmetriche su corpi finiti

[gordio]

non sapevo se postare questo problema qui o da un altra parte...

Sia F un corpo finito su un primo p.
Quante sono le applicazioni bilineari simmetriche non-degeneri di F^3 ? O, equivalentemente, quante sono le matrici simmetriche 3x3 a valori in F con determinante diverso da zero?
Una soluzione molto poco elegante dovrebbe essere data dall'analizzare la situazione caso per caso, ma è molto lunga e, quel che è peggio, brutta...

[Sisifo]

Non credo che le applicazioni bilineari sul cubo di un corpo finito siano matematica molto olimpica... Aspetto i pareri degli amministratori.

[gordio]

sì, come ho detto ero abbastanza indeciso... forse in matematica non elementare andava anche bene. Quel che è certo è che (secondo me), non è proprio facile (ci ho pensato un po' senza trovare nessuna strada accettabile che portasse alla soluzione)...

[Marco]

Garantito, che lo sposto!! Credo che gli unici concetti matematici abbastanza base per essere considerati olimpici siano "finito" e "primo"...

Beh, senza la simmetria viene facile:
$ \left( p^3 - 1 \right) \left( p^3 - p \right) \left( p^3 - p^2 \right) $

Con la simmetria direi che è un piccolo casino...