Determinare tutte le coppie $ (m,n) $ con $ m,n \in \mathbb{N} $ tali che
$ \sqrt[60]{m^{\displaystyle n^5-n}} $ sia intero.
Mi sembra abbastanza facile (all'incirca un cese-1); quindi, cari utenti navigati del forum, giù le zampe dal problema!
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Nulla di più semplice! Prova con il tag "\neq", e poi fammi sapere...HumanTorch ha scritto:[...] scusate, ma non so come si ottenga il simbolo "diverso" [...]
Attenzione...HumanTorch ha scritto:OK, quindi riepilogando le soluzioni sono $ (m;2n) $ e $ (m^2;n) $.
Ma perché tirar fuori Euler-Fermat in un problema relativamente semplice?HiTLeuLeR ha scritto:In quanto al problema, direi che a qualcuno dovrà pur venire in mente (prima o poi...) che, in conseguenza del teorema di Euler-Fermat (...)
Dunque... $ {n^5}-n = n (n-1) (n+1) (n^2+1) $kemhONE ha scritto: Tanto per fare un esempio, la coppia $ (2,3) $ è una soluzione.
i) Perché fa figo. ii) Perché è così cooomodo... (chi sono?!?kemhONE ha scritto:Ma perché tirar fuori Euler-Fermat in un problema relativamente semplice?
Come osservato, p.o. $ n\in\mathbb{N} $: $ 30 \mid (n^5 - n) $. Resta da garantire che, posto $ \alpha := \max\{k\in\mathbb{N}_0: \exists a\in\mathbb{N} \mbox{ t.c. }m = a^k\} $, sia $ k\cdot \dfrac{n^5- n}{30} \equiv 0 \bmod 2 $. Siccome $ n^5 - n \equiv 0 \bmod 4 $, per ogni $ n\in\mathbb{N} $, eccetto nel caso in cui $ n = 4v + 2 $, per qualche $ v\in\mathbb{N} $, è chiaro che la condizione sopra indicata è soddisfatta da tutte e sole le coppie $ (m,n) $ del tipo $ (u^2, 4v+2) $, $ (u, 4v) $ o $ (u, 2v+1) $, con $ u, v\in\mathbb{N} $ e $ u^2 + v^2 \neq 0 $ (tanto per evitarsi di dover contemplare la scrittura $ 0^0 $).kemhONE ha scritto:Determinare tutte le coppie $ (m,n) $ con $ m,n \in \mathbb{N} $ tali che $ \sqrt[60]{m^{\displaystyle n^5-n}} $ sia intero.
Siamo sicuri che valga per tutti i naturali?!HiTLeuLeR ha scritto:Come osservato, p.o. $ n\in\mathbb{N} $: $ 30 \mid (n^5 - n) $.
Ottimo stile, ottimo tutto. Ma, nuovamente, mancano i casi banali...HiTLeuLeR ha scritto:Resta da garantire che, posto $ \alpha := \max\{k\in\mathbb{N}_0: \exists a\in\mathbb{N} \mbox{ t.c. }m = a^k\} $, sia $ k\cdot \dfrac{n^5- n}{30} \equiv 0 \bmod 2 $. Siccome $ n^5 - n \equiv 0 \bmod 4 $, per ogni $ n\in\mathbb{N} $, eccetto nel caso in cui $ n = 4v + 2 $, per qualche $ v\in\mathbb{N} $, è chiaro che la condizione sopra indicata è soddisfatta da tutte e sole le coppie $ (m,n) $ del tipo $ (u^2, 4v+2) $, $ (u, 4v) $ o $ (u, 2v+1) $, con $ u, v\in\mathbb{N} $ e $ u^2 + v^2 \neq 0 $ (tanto per evitarsi di dover contemplare la scrittura $ 0^0 $).
Ecco perché ho definito imperfetta la tua soluzione.mattilgale ha scritto:prima o poi vorrei una lezione seria e ammodo sui teoremi di Fermat... non li ho mai studiati e so a mala pena cosa dice l'ultimo