Problema #1: essendo $ \{p_k\}_{k\in\mathbb{N}_0} $ la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi naturali, stabilire il carattere della serie $ \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1}\cdot\frac{1}{p_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + (-1)^{k+1} \cdot\frac{1}{p_k} + \ldots $
EDIT: è certo che non sto bene...
Vabbe', ormai che c'è lo lascio! Ecco il problema serio, comunque...Problema #2: nelle stesse notazioni del problema precedente, stabilire il carattere della serie $ \displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{r_k}{p_k} $, essendo $ r_k := 1 $, se $ p_k \equiv 1 \bmod 4 $; $ r_k := -1 $, se $ p_k \equiv -1 \bmod 4 $, per ogni intero $ k \geq 2 $.
In ogni caso, quel $ B $ a cui tu fai cenno è detto costante di Brum, ed è il valor limite cui converge la serie $ \displaystyle \sum_{p\in\mathfrak{P}_2} \frac{1}{p} $, la sommatoria essendo estesa a tutti e soli gli elementi dell'insieme $ \mathfrak{P}_2 := \{p\in\mathfrak{P}: (p+2)\in\mathfrak{P}\} $, appunto i cosiddetti primi gemelli. Utilizzando metodi di crivello che si direbbero (...) piuttosto sofisticati, il nostro Brum è riuscito a stabilire che la serie indicata è convergente, prescindendo totalmente da un dato circa la cardinalità dell'insieme $ \mathfrak{P}_2 $. Che poi quest'argomento abbia portato alla dimostrazione dell'infinità dei primi gemelli, beh... senti a me (come direbbe il mio Prof 
): quest'è una stronzata madornale!!! Là dove la serie fosse risultata divergente, avresti tenuto ragione tu, ma siccome la condizione indicata non sussiste, eh... prova a ripensarci con più calma!
E comunque sappi che il proof relativo alla congettura dei primi gemelli cui si fa colà riferimento è risultato di fatto fallace. Il problema rimane a tutt'oggi aperto...