Dimostrare che PQ taglia XY.....

[karl]

P e' un punto del circocerchio del triangolo ABC (distinto dai vertici)
e siano: X l'intersezione di BP con AC,Y quella di CP con AB e Q
l'intersezione (distinta da A) del circocerchio di ABC con il circocerchio
di AXY.
Dimostrare che PQ taglia XY nel suo punto medio M.

[AlessandroSfigato]

se qualcuno percaso conosce la soluzione non si vergogni a scriverla
ci ho perso 1 bel po di tempo ma nn ho idea di come risolvere questo problema

[Sisifo]

Io avrei una domanda da porre a karl...
Il punto P deve essere nell'arco minore AC o si tratta semplicemente di un vizio del disegno e bisogna trattare entrambi i casi?

[karl]

Non credo che la soluzione dipenda dalla posizione di P .E nemmeno so
se occorra distinguere due casi, per il semplice fatto che ..non ho la soluzione!
E' da qualche giorno che mi arrovello inutilmente ( le sto tentando tutte:
Ceva,Menelao,qualche possibile similitudine etc,etc).
Come ti capisco Alessandro...,speriamo che qualche geniaccio ci aiuti.

[thematrix]

Recupero questo post,perchè è veramente un bel problema

Allora:

prima parte
$ \angle QYM = \angle QYX = \angle QAX $ (stessa circonf)$ = \angle QAC = \angle QPC $(stessa circonf)$ = \angle MPY $(opposti al vertice)

$ \angle PMY = \angle YMQ \Rightarrow \angle PYM = \angle YQM \Rightarrow YM^2 = MP * MQ $


seconda parte
$ \angle MXP = \angle CPX - \angle PYM $ (il primo esterno al supplementare della somma degli altri due) $ = \angle CAB - \angle PYM $(stessa circonferenza) $ = (180° - \angle YAX) - \angle PYM = \angle YQX - \angle PYM $ (opposto alla corda $ XY $) $ = \angle YQX - \angle YQM $ (per quanto detto prima) $ = \angle MQX $

$ \angle PMX = \angle XMQ \Rightarrow \angle MPX = \angle MXQ \Rightarrow MX^2 = MP*MQ $ ,da cui la tesi.