piccola dimostrazione

[shuzz]

[spostato in algebra -- talpuz]

Non è che mi potreste dimostrare che se p=ab , s=a+b, p è massimo se a=b?

[Boll]

Non è che mi potreste dimostrare che se p=ab , s=a+b, p è massimo se a=b?

Questa è algebra!!!!! Comunque

Chiamiamo $ a=\max(a,b) $
$ a=\dfrac{s}{2}+k $

$ b=\dfrac{s}{2}-k $

$ ab=p=\dfrac{s^2}{4}-k^2 $

per massimizzare $ p $, a $ s $ costante dobbiamo minimizzare $ k^2 $, che ovviamente ha il punto di minimo in $ 0 $. Quindi $ k^2=0 $, che implica $ k=0 $, che dimostra che $ a=b=\dfrac{s}{2} $

[HumanTorch]

Posto anche questa, scusate l'intrusione:

sia $ a+b=s $ fissato:lo sarà anche $ \frac{s}{2} $. Detto $ p $ il prodotto, per massimizzare $ p $ dobbiamo massimizzare $ \sqrt{p} $, che per AM-GM è sempre minore o uguale a $ \frac{s}{2} $, che è proprio il valore che assume quando $ a=b $

[Boll]

Uhm, Human, all'inizio avevo fatto anche io così ma poi ho pensato che i problemi:

"Dimostrare AM-GM"
"Dimostrare che $ ab $ tocca il suo massimo se $ a=b $"

in fondo mi paiono equivalenti

[karl]

Una variante...geometrica (per la verita' non molto diversa da quella di Human).
Descritta la semicirconferenza di diametro AB=s=a+b,si prenda su AB
il punto variabile X tale che sia AX=a,XB=b [con a e b anch'essi
variabili,ovviamente].
Risulta $ \displaystyle XY=\sqrt{ab} $ ed e' evidente che il massimo di XY,cioe' di p,si consegue quando X cade in O.

[enomis_costa88]

Ho trovato anche io una simpatica interpretazione geometrica della tesi..
Disegno un quadrato di lato $ a+b $. segno la lunghezza di a su ogni lato sempre nello stesso verso:
** ___a____b
b |______ |**|
* |**|****|**|a
* |**|____|__|
a |__|______ |b
** b *** a
i quattro rettangoli ab non riempiono il quadrato $ (a+b)^2 $ se $ a \not = b \not = ½ (a+b) $ perché essi sono larghi come il minire tra a e b e se uno di essi e minore della metà non possono riempire in larghezza tutto il quadrato. Se a=b essi riempiono il quadrato e quindi si ha il massimo.
Noto che dallo stesso disegno si può dedurre $ (a+b)^2 \ge 4ab $ ovvero $ \sum_{sym}a^2 \ge \sum_{sym}ab $

[MindFlyer]

Oki, belle idee (graziosa quella di enomis_costa!).
Faccio notare però che l'unica a valere anche per variabili negative è quella di Boll.

[HumanTorch]

Infatti, Boll, mi parevano piuttosto simili, ma leggendo tanto spesso la sigletta AM-GM nel forum, ormai mi viene automatico. Appproposito, si deve dimostrare anche dato $ ab $ fissato, il massimo $ a+b $ si tocca al contrario per $ a $ tendente a $ 0 $ o no?

OT: Visto che tutti cercano gli auguri più originali, io posto qua: in mouth to the wolf ai Cancunensi (oddio, lupo $ \rightarrow $ Wolf $ \rightarrow $Simone..è destino, magari un segno del destino.. )

[karl]

Il massimo di a+b,quando e' assegnato ab , non esiste in termini finiti, .
Viceversa esiste il minimo e si ottiene,anche stavolta, con a=b;
per dimostrare cio' e' sufficiente osservare,senza far ricorso a regole
di analisi,che:$ \dispalystyle (a+b)^2=(a-b)^2+4ab $
e notare che ,per ab fissato,il minimo di $ \displaystyle (a+b)^2 $ lo si ha quando e'nullo $ \displaystyle (a-b)^2 $ ovvero per a=b.
In generale ,per la legge di reciprocita',la proposizione reciproca porta ad un minimo(massimo) allorche' quella diretta porta ad un massimo (minimo).