Generatori di primi e loro esecrealità

[Northwood]

Ciao ! Volevo porre a voi esperti altre due congetture che ho verificato.

Definizione: dato un numero primo p, si dice esacreale di p, e si indica con p*, il resto della divisione intera tra p e 9.

Definizione: dato un numero primo p, si dice che p è un generatore di primi se anche 2p+1 è primo. In tal caso, 2p+1 si dice numero primo generato (da p).

PRIMA CONGETTURA: se p è un generatore di primi, e p>=10, si ha p*=2 o p*=5 o p*=8

SECONDA CONGETTURA: se p è un numero primo generato, e p>=20, si ha p*=2 o p*=5 o p*=8

Entrambe sono state verificate per k<=2000000.

Spero di non annoiarvi, ma queste congetture sono dimostrabili ? Se sì, come ?

[Boll]

Invero le dimostrazioni non sono nemmeno troppo difficili, faccio la prima, che peraltro è in parte errata, la seconda è analoga.

Quello che tu chiami $ p* $ è la congruenza modulo 9, quindi avremo che dato un numero $ p $ esso può essere primo se $ p*:=\{1,2,4,5,7,8\} $ o $ p=3 $, negli altri casi $ p $ risulta multiplo di $ 3 $. Ora applicando a tali congruenze la funzione $ f(x)=2x+1 $ (alle sole congruenze) avremo che, rispettivamente $ f(p*)=\{3,5,9,2,6,8\} $, oppure $ f(p)=7 $ (per il caso $ p=3 $), che in parte falsa la tua congettura, quindi sono da escludere il primo, il terzo e il quinto valore perchè rendono multipli di 3. Quindi rimangono accettabili $ \{2,5,8\} $, ora basta trovare primi che funzionano, io scelgo le coppie $ (2,5) $ $ (5,11) $ e $ (53,107) $ per ultimare la dimostrazione.

[Northwood]

E in quanto a questo Boll ?

CONGETTURA: Sia p un primo > 10. Allora, se p+2 è primo, p*=2 o p*=5 o p*=8.

L'ho verificata fino a k=2000000.

[HumanTorch]

Congruenze modulo $ 3 $: deve essere $ p\equiv 2 $ mod $ 9 $, ovvero l'esecralità di $ p $ deve essere pari a $ 2+3k $, quindi a $ 2 $, $ 5 $ o $ 8 $. Ovviamente le esecralità multiple di $ 3 $ si hanno solo per il multipli di $ 3 $, che non sono primi all'infuori di $ 3<10 $. Inoltre, se anche p+2 deve essere primo, quindi non divisibile per $ 3 $, per la proprietà dell'esecralità che $ n*+m*=(n+m)* $, $ p*+2* $ non deve essere un multiplo di $ 3 $, quindi $ p* $ non può avere esecralità $ 3k+1 $, essendo $ 3k+1+2=3(k+1) $

[Marco]

(per il caso $ p=3 $), che in parte falsa la tua congettura

Non è esatto, dato che N.W. ha messo chiaramente la condizione p>=10.

@Northwood: quasi tutti i quesiti di questo tipo possono essere risolti con la tecnica dell'aritmetica modulare. Dato che non è una cosa stratosfericamente difficile, perché non provi a leggertela? Scopriresti senza molta fatica perché funzionano queste tue congetture e come inventarne di nuove senza doverle verificare con la forza bruta del calcolatore (e, ahinoi, la loro inutilità nel cercare di utilizzarle come "generatori di primi").