Se p e q sono...

[mark86]

Spero di non aver sbagliato la sezione:

Se $ p $ e $ q $ sono numeri interi dispari, l'equazione

$ x^2+2px+2q=0 $

non ha radici razionali. Dimostrare che la stessa conclusione vale per l'equazione

$ x^n+2px+2q=0 $ $ n\geq 3 $

[mark86]

La prima parte del problema è così risolta.

Supponiamo per assurdo che l'equazione (1) abbia radici razionali, allora deve essere

$ \Delta=p^2-2q=a^2 $.

Dal momento che $ p $ e $ q $ sono dispari sarà dispari anche $ a $. Poniamo $ p=2k+1 $ e $ a=2h+1 $ allora svolgendo qualche conticino

$ 2q=p^2-a^2=(2k+1)^2-(2h+1)^2=4(k^2+k-h^2-h) $ che implica

$ q=2(k^2+k-h^2-h) $ ma $ q $ non è pari e ciò conduce all'assurdo.

Per la seconda parte del problema si accettano suggerimenti....

[HiTLeuLeR]

Non ho molto tempo da dedicare al forum, ultimamente, per cui... Leggo al volo e di conseguenza risolvo!!!

Se $ p $ e $ q $ sono numeri interi dispari, [dimostrare che] l'equazione $ x^n+2px+2q=0 $, con $ n\geq 3 $, non possiede soluzioni razionali.

Per assurdo, esista $ x\in\mathbb{Q} $ tale che $ x^n + 2px + 2q = 0 $. E allora sono nondimeno determinati $ u, v \in\mathbb{Z} $, con $ v > 0 $ e $ \gcd(u,v) = 1 $, tali che $ x = u/v $, e perciò $ u^n + 2puv^{n-1} + 2qv^n = 0 $, cosicché $ u \equiv 0 \bmod 2 $, e quindi $ qv^n \equiv 0 \bmod 2 $. Di qui l'assurdo, siccome si suppone $ q \equiv 1 \bmod 2 $ e $ \gcd(u,v) = 1 $. Da notare che l'ipotesi circa la parità di $ p $ non serve proprio a una cippa, e che il ragionamento funziona pure nel caso $ n = 2 $.

[moebius]

Credo che nel fare i conti tu abbia invertivo la frazione...
Comunque si capisce, quello che non capisco è perchè $ qu^n \equiv 0 \bmod 2 $, me lo spiegherebbe dottore?

[karl]

Approfittando della probabile "pennichella" di Hit,rispondo io.
Posto v=2k (con k intero>=1),l'equazione in questione diventa:
$ \displaystyle 2^nk^n+2^2pku^{n-1}+2qu^n=0 $
da cui: $ \displaystyle 2^{n-1}k^n+2pku^{n-1}+qu^n=0 $
e quindi la tesi, essendo n>1.

[moebius]

Thx a lot, avevo sostituito ma mi ero perso la v dei primi due fattori

[HiTLeuLeR]

Credo che nel fare i conti tu abbia invertivo la frazione...

Credolo anch'io (viva la legge Tobler-Mussàfia!)...