Qual è il più grande intero $ N $ tale che
$ n^5-5n^3+4n $
sia divisibile per $ N $ qualunque sia l'intero $ n $?
Qual è il più grande intero...
Per ogni $ n\in\mathbb{Z} $, sia $ a_n = n^5 - 5n^3 + n = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) $. Se $ p $ è primo in $ \mathbb{Z} $ e $ |p| > 5 $, banalmente esiste $ n\in\mathbb{N} $ tale che $ p \nmid a_n $. Basti assumere $ n = |p| + 3 $. Dunque necessariamente $ N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c $, per opportuni $ a, b, c \in\mathbb{N} $. E siccome $ a_3 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 $, e si trova $ a_n \equiv 0 \bmod a_3 $, per ogni $ n\in\mathbb{Z} $, banalmente $ N = a_3 $.