Sui fattori primi nelle progressioni aritmetiche

[HiTLeuLeR]

Premessa: in accordo al teorema fondamentale dell'Aritmetica, comunque scelto un intero $ n > 1 $, esistono $ r\in\mathbb{N}_0 $; $ p_1, p_2, \ldots, p_r \in \mathfrak{P} $ e $ a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ \displaystyle n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i} $. L'espressione di $ n $ in termini della produttoria così indicata vien detta correntemente la sua decomposizione canonica euclidea, o più semplicemente la sua fattorizzazione in primi.

Problema: essendo $ a, b\in\mathbb{N}_0 $, mostrare che esistono infiniti termini della progressione aritmetica $ \{ak + b\}_{k\in\mathbb{N}} $ le cui decomposizioni canoniche euclidee contengono esattamente gli stessi fattori primi.

Questo invece è pensato per quei che, come me, non hanno la pretesa di saper discernere ciò ch'è bello da ciò che non lo è, e si limitano - quand'anche gli riesca - a ragionar di Matematica, piuttosto che di estetica trascendentale... Del resto, bisogna pur convivere... con i propri limiti!

[Igor]

Poniamo per ora

$ gcd(a,b)=1 $

Prendiamo:

$ s=ak+b $ e dimostriamo che esiste un termine della successione maggiore di $ s $ che ha gli stessi fattori primi . In particolare, dimostriamo che esiste un termine della successione uguale a $ s^n $, con $ n $ intero $ \geq 2 $.Infatti $ s $ e $ s^n $ hanno sicuramente gli stessi fattori primi.

Dobbiamo dunque trovare un $ h $ intero $ >k $ tale che

$ (ak+b)^n=ah+b $.

Affinchè $ h $ sia intero, deve essere

$ a\mid (ak+b)^n-b\Rightarrow a\mid b^n-b $.

L'ultima relazione trovata, tenendo conto che a e b sono coprimi, si può anche scrivere :

$ b^{n-1}\equiv 1\bmod a $.

Ma per il piccolo teorema di Fermat, basta prendere

$ n-1=\varphi(a) $, affinchè la relazione sia verificata.

Dunque, dato un termine $ s $ della successione $ ak+b $,ne esiste un'altro che è uguale ad una potenza di s, e che quindi ha gli stessi fattori primi.

Possiamo dunque concludere che che esistono infiniti termini della progressione aritmetica $ ak+b $, con $ gcd(a,b)=1 $ le cui decomposizioni canoniche euclidee contengono esattamente gli stessi fattori primi.

Se invece $ gcd(a,b)=t $, con $ t>1 $, possiamo porre:

$ a=tm $
$ b=tn $, con $ gcd(m,n)=1 $

Avremo che:

$ ak+b=t(mk+n) $

Dato che, per quanto detto prima, possiamo trovare infiniti termini della progressione aritmetica $ mk+n $, le cui decomposizioni canoniche euclidee contengono esattamente gli stessi fattori primi, anche per la successione $ ak+b $ varrà la stessa proprietà e questo conclude la nostra dimostrazione.

[HiTLeuLeR]

Prendiamo $ s=ak+b $ e dimostriamo [...] che esiste un termine della successione uguale a $ s^n $, con $ n $ intero $ \geq 2 $. [...] Dobbiamo dunque trovare un $ h $ intero $ >k $ tale che $ (ak+b)^n=ah+b $. Affinchè $ h $ sia intero, deve essere $ a\mid (ak+b)^n-b\Rightarrow a\mid b^n-b $.

Sì, è tutto molto bello, eppure la condizione ultima indicata è certo necessaria per l'esistenza del tuo agoniato $ h $, ma ben altro - ti dirò - che sufficiente... Dunque mi spiace: l'idea è interessante, eppure il risultato finale... vabbè, è quel che è! Chissà tuttavia che tu o qualcun altro non riusciate a metterci una pezza... Dico bene, talpa?!?

[HumanTorch]

Dirichlet andante, eh..anyway, sia $ m=\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} $. Esso è $ \equiv b $ mod $ a $. Moltiplicando $ m $ per $ t $ siamo apposto. Prima che EuLEr si infuri, $ t $ è $ p_i^{O_a} $, ove $ O_a $ è l'ordine di $ p_i $ in base $ a $, ovvero il più piccolo $ \beta $ positivo intero t.c. $ p_i^{\beta}\equiv 1 $ modulo $ a $. Da ciò, moltiplicando $ m $ per ogni$ p_i^f $, con $ f $ multiplo di $ O_a $, la tesi.

[Igor]

Scusa Hit, ma non capisco.

Prendiamo

$ \displaystyle h=\frac{(ak+b)^{\varphi(a)+1}-b}{a}\displaystyle $

Per i motivi esposti nel mio post, $ h $ è sicuramente intero.

Ed inoltre,

$ ah+b=(ak+b)^{\varphi(a)+1} $

Dov'è che sbaglio?

[HiTLeuLeR]

[...] sia $ m=\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} $. Esso è $ \equiv b $ mod $ a $. Moltiplicando $ m $ per $ t $ siamo apposto. Prima che EuLEr si infuri, $ t $ è $ p_i^{O_a} $, ove $ O_a $ è l'ordine di $ p_i $ in base $ a $, ovvero il più piccolo $ \beta $ positivo intero t.c. $ p_i^{\beta}\equiv 1 $ modulo $ a $. Da ciò, moltiplicando $ m $ per ogni$ p_i^f $, con $ f $ multiplo di $ O_a $, la tesi.

Stai male? Cioè, vi prego... Qualcuno è in grado di tradurre? Io non ci ho capito niente, ma forse voi...

Btw, l'unico andante che conosco e apprezzo è di Paganini, sonata #6. Te lo consiglio, HumanTorch. La musica aiuta a concentrarsi, e ispira nella scrittura, oltre che nel pensiero. Forse che ti manchi giusto l'ispirazione?

[Igor]

Scusa HiT, potresti rispondere alla mia domanda?

[HiTLeuLeR]

Son qui, Igor, appena di ritorno dalla capitale. Dunque... Non so davvero perché abbia commentato a quel mondo il tuo primissimo intervento sul topic! Del resto, sono trascorsi ben due giorni da allora, e la mia memoriaaa... Eh, la mia memoria! Vabbè, vabbè... Tirando a indovinare, scommetto volessi vedere a tutti i costi com'era fatto quel tuo $ h $, sbuff... Per farla breve, risparmiandomi ulteriori ammende: la tua soluzione è perfetta! Chiara, semplice, esemplare. Questa è la mia umile opinione, naturalmente...