Se b = 3a e b riarrangia le cifre decimali di a...

[HiTLeuLeR]

Diremo che un certo intero $ a > 0 $ gode della proprietà $ P $ se la rappresentazione posizionale in base $ 10 $ di $ 3a $ è un riarrangiamento delle cifre dell'analoga rappresentazione di $ a $, assunto di trascurare (com'è consueto) gli zeri in "posizione di testa". Ebbene...

Problema: i) dimostrare che, se $ a\in\mathbb{N}_0 $ gode della proprietà $ P $, allora $ a $ è divisibile per 9. ii) Provare che esistono infiniti interi $ a > 0 $ che soddisfano alla proprietà $ P $. iii) Determinare (con argomenti Matematici!) il più piccolo intero $ a > 0 $ per il quale è verificata la proprietà $ P $.

[Sisifo]

i)Intanto, poichè le cifre di 3a sono un riarrangiamento di quelle di a (a meno di zeri) la somma è la stessa. Quindi la somma delle cifre di a è un multiplo di 3 e a stesso è un multiplo di 3. Ma allora 3a è un multiplo di 9 e con un ragionamento analogo anche a è multiplo di 9.

[HumanTorch]

Sia $ I=[0;9] $, e $ I $ è un sottoinsieme di $ \mathbb{N} $

1. se $ n $ e $ 3n $ hanno le medesime cifre, anche la somma delle loro cifre sarà la stessa. Per il piccolo teorema di Fermat (essendo $ 10^k\equiv 1 $ modulo $ 9 $), un intero positivo è congruo modulo $ 3 $ alla somma delle sue cifre, quindi $ n $ stesso è un multiplo di $ 3 $. Ma allora $ 3n $ è multiplo di $ 9 $, quindi, sempre per il piccolo teorema di Fermat, detta $ Q_n $ la somma delle cifre di $ n $, $ Q_{3n}\equiv 3n\equiv 0 $ (modulo 9). Ma $ Q_{3n}=Q_n $, che essendo multiplo di $ 9 $, ci prova che anche $ n $ è multiplo di $ 9 $

2. E' chiaro che esiste almeno un numero con tale proprietà (vedi punto 3.): sia $ t $ tale numero. Per ipotesi $ 3t $ e $ t $ hanno lo stesso numero di cifre, diciamo $ l $. Quindi $ (10^l+1)n $ rispetta anch'esso tale proprietà

[Igor]

Per il secondo punto basta notare che, se $ a $ possiede la proprietà $ P $, anche $ 10a $ la possiede.Infatti $ 10a $ ha le stesse cifre decimali di $ a $, con l'aggiunta di uno zero finale e $ 30a $ ha le stesse cifre decimali di $ 3a $,sempre con l'aggiunta di uno zero finale.
Dunque se $ a $ e $ 3a $ presentano le medesime cifre decimali, lo stesso sarà vero anche per $ 10a $ e $ 30a $.
Poichè almeno un $ a $($ a=351 $), verifica la proprietà $ P $, tutti i numeri della forma $ a*10^k $, con $ k $ intero $ \geq 1 $, la verificano .

[HiTLeuLeR]

Un ok a Sisifo e HumanTorch (per una volta, finalmente, sei stato chiaro, oooh... ) per la soluzione proposta al quesito i).

[HiTLeuLeR]

2. E' chiaro che esiste almeno un numero con tale proprietà (vedi punto 3.) [...]

Che intendi dire? Fintanto che non ne esibisci un "esemplare", a me sembra tutt'altro che chiaro...

[...] sia $ t $ tale numero. Per ipotesi $ 3t $ e $ t $ hanno lo stesso numero di cifre, diciamo $ l $. Quindi $ (10^l+1)n $ rispetta anch'esso tale proprietà

Eh, questo non è vero! Intanto m'immagino che quel tuo $ n $ voglia piuttosto essere una $ t $. Inoltre, permettimi farti notare che, se $ k $ è il numero di cifre '$ 3 $' che figurano nella rappresentazione decimale di $ (10^l+1)t $, ovvero di $ t $, allora $ 3\cdot (10^l+1)t $ possiede un numero di cifre '$ 3 $' pari a $ k+1 $, per cui...

[HiTLeuLeR]

Per il secondo punto basta notare che, se $ a $ possiede la proprietà $ P $, anche $ 10a $ la possiede.

Sante parole!

Poichè almeno un $ a $ ($ a=351 $), verifica la proprietà $ P $ [...]

Alt! Se $ a = 351 $, allora $ 3a = 1053 $, e pertanto non vedo come $ 3a $ possa dirsi riarrangiare le cifre decimali di $ a $. Del resto...

Diremo che un certo intero $ a > 0 $ gode della proprietà $ P $ se la rappresentazione posizionale in base $ 10 $ di $ 3a $ è un riarrangiamento delle cifre dell'analoga rappresentazione di $ a $, assunto di trascurare [...] gli zeri in "posizione di testa".