Interi consecutivi #2
Interi consecutivi #2
Mostrare che il prodotto di k numeri interi positivi consecutivi non può essere la potenza k-esima di un numero intero.
Immagino si debba supporre $ k\geq 2 $, ché altrimenti il claim risulta banalmente falso. Ebbene...mark86 ha scritto:Mostrare che il prodotto di k numeri interi positivi consecutivi non può essere la potenza k-esima di un numero intero.
Per assurdo, esistano $ a, n, k \in\mathbb{N} $, con $ k \geq 2 $, tali che $ (n+1)(n+2)\ldots (n+k) = a^k $. E allora necessariamente $ n+1 < a < n+k $, e dunque $ k \geq 3 $. Pertanto esiste $ i = 1, 2, \ldots, k $ tale che $ n+i > 1 $ e $ \gcd(n+i, a) = 1 $. Ne segue l'assurdo, e quindi la tesi.