Siano date due circonferenze C, di centro O, e C', di centro O', fra loro
secanti in due punti A e B. Sia P un punto di C, esterno a C'. Sia poi M il
secondo punto di intersezione della retta PA con C' ed N il secondo punto
di intersezione della retta PB con C'.
Si dimostri che la retta PO `e perpendicolare alla retta MN.
Si potrebbe dimostrare che la retta tangente a P è parallela a MN e il gioco è fatto... qualche idea di come dimostrarlo?
Due cerchi che si intersecano #2
Due cerchi che si intersecano #2
Ultima modifica di mark86 il 31 lug 2005, 01:39, modificato 1 volta in totale.
Avevo confuso PO con PO',per via del segno ` accanto...comunque probabilmente la via più immediata è l'angle chasingmark86 ha scritto: Si dimostri che la retta PO `e perpendicolare alla retta MN.
Sia MAO=x,NAO=y,QBM=a,ANP=b (Q è l'intersezione tra PO e C).Sfruttando il fatto che PABQ è ciclico,e così ABMN,si arriva a trovare che l'angolo tra PO e MN è 180°-a-b-x-y sia nel triangolo PRM sia in PRN(R punto d'incontro tra le due rette),e quindi si ha la tesi.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
Mah, io l'avrei risolto così (come indicato tra l'altro da mark):
I triangoli ABP e MNP sono simili (th delle secanti, quadrilateri ciclici od altro); quindi per esempio PMN=PBA=APt (gli ultimi due sono angoli alla cfr sullo stesso arco AP), dove t è la tangente in P a C. Le rette MN e t formano così angoli alterni interni congruenti, quindi la tesi.
I triangoli ABP e MNP sono simili (th delle secanti, quadrilateri ciclici od altro); quindi per esempio PMN=PBA=APt (gli ultimi due sono angoli alla cfr sullo stesso arco AP), dove t è la tangente in P a C. Le rette MN e t formano così angoli alterni interni congruenti, quindi la tesi.
Dopo quella buona di what (incidentalmente osservo che
la similitudine dei triangoli sembra superflua) indico una soluzione che
fa uso dell'inversione circolare raramente usata nei post di geometria.
Occorre pero' ricordare che questa trasformazione del piano in se'
muta ogni circolo passante per il polo dell'inversione in una retta e precisamente
nell'asse radicale del circolo dato e del circolo d'inversione.Tale retta e'
quindi parallela alla tangente al circolo dato condotta nel polo.
Consideriamo allora l'inversione di polo P e potenza p=PA*PM=PB*PN
[teorema delle secanti] nella quale (A,M ) e (B,N) sono evidentemente
coppie di punti coniugati.Poiche' il circolo C(O) passa per il polo ad esso
corrisponde un retta che e' proprio la MN dato che C(O) passa per A e B.
Questa retta MN ,per quanto detto,risulta parallela alla tangente a C(O) in P.
Graziosa ,vero?
la similitudine dei triangoli sembra superflua) indico una soluzione che
fa uso dell'inversione circolare raramente usata nei post di geometria.
Occorre pero' ricordare che questa trasformazione del piano in se'
muta ogni circolo passante per il polo dell'inversione in una retta e precisamente
nell'asse radicale del circolo dato e del circolo d'inversione.Tale retta e'
quindi parallela alla tangente al circolo dato condotta nel polo.
Consideriamo allora l'inversione di polo P e potenza p=PA*PM=PB*PN
[teorema delle secanti] nella quale (A,M ) e (B,N) sono evidentemente
coppie di punti coniugati.Poiche' il circolo C(O) passa per il polo ad esso
corrisponde un retta che e' proprio la MN dato che C(O) passa per A e B.
Questa retta MN ,per quanto detto,risulta parallela alla tangente a C(O) in P.
Graziosa ,vero?