Sulla rappresentazione b-esimale dei multipli di un intero

[HiTLeuLeR]

Questo mi è stato ispirato dal problema proposto da Northwood nel subforum di "Matematica non elementare" (click).

Problema: siano $ a, b \in\mathbb{N}_0 $, con $ b > 1 $. E' vero allora ch'esistono infiniti multipli interi positivi di $ a $ la cui rappresentazione posizionale in base $ b $ contenga almeno una volta ogni cifra dell'insieme $ \mathcal{D}_b = \{0, 1, \ldots, b-1\} $?

[Santana]

Questo mi è stato ispirato dal problema proposto da Northwood nel subforum di "Matematica non elementare" (click).

Problema: siano $ a, b \in\mathbb{N}_0 $, con $ b > 1 $. E' vero allora ch'esistono infiniti multipli interi positivi di $ a $ la cui rappresentazione posizionale in base $ b $ contenga almeno una volta ogni cifra dell'insieme $ \mathcal{D}_b = \{0, 1, \ldots, b-1\} $?

Si, prendiamo il numero $ M $ la cui ultima cifra destra in base $ b $ è l'unità, muovendoci verso sinistra, dopo questa cifra ci sono tanti 0 quante le cifre di $ a $ base $ b $, poi finita sta sfila di zeri ci stanno in ordine le cifre del tuo insieme $ D_b $. Ora si ha che $ aM $ contiene tutte le cifre base $ b $. Ciò è banalmente vero per $ abM,ab^2M,ab^3M... $ infatti base $ b $ moltiplicare per $ b $ corrisponde a agiungere uno zero a destra.

[HiTLeuLeR]

[...] prendiamo il numero $ M $ la cui ultima cifra destra in base $ b $ è l'unità, muovendoci verso sinistra, dopo questa cifra ci sono tanti 0 quante le cifre di $ a $ base $ b $, poi finita sta sfila di zeri ci stanno in ordine le cifre del tuo insieme $ D_b $. Ora si ha che $ aM $ contiene tutte le cifre base $ b $.

Ehmmm... Prendiamo $ b=10 $ ed $ a = 3 $. Allora il tuo algoritmo suggerirebbe di porre $ M := 98765432101 $, con la garanzia che (fra gli altri!) $ 5M $ debba contenere tutte le cifre dell'insieme $ \mathcal{D}_{10} $. Eppure $ 3M = 296296296303 $... Qualcosa non mi quadra!