Determinare n interi distinti i cui inversi si sommano ad 1

[HiTLeuLeR]

Un altro problema semplice semplice tratto dalle olimpiadi matematiche nazionali della terra natale del mio scrittore preferito.

Problema: dimostrare che, per ogni intero positivo $ n > 2 $, è possibile determinare $ n $ altri interi positivi, a due a due distinti, i cui inversi si sommano ad $ 1 $.

[moebius]

$ \frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2} $ (1)
Quindi per $ n=3 $, si ha: $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $.
Dalla (1):
$ \frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=1 $
e ancora:
$ \frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{4}=1 $
And so on...
Ovviamente per costruzione i termini della somma sono a due a due distinti.
P.S.: Esistono modi meno "costruttivi" di provarlo, ma questo mi sembrava il più diretto. Sono sicuro che Hit spenderà qualche parola sulla forma in cui è posta la soluzione (sempre che sia corretta!). Prometto di scriverla decente appena torno dal mare
P.P.S.: Chi è lo scrittore in questione?

[HiTLeuLeR]

Sì, moebius, l'idea ci sta tutta! Certo manca di forma, ma vabbè... Del resto, sostanzialmente, il problema era stato già risolto tempo addietro. Provate infatti a dare una cliccatina proprio qui, su su...

P.S.: per la cronaca, l'esercizio è tratto dalla Brasilian Mathematical Olympiad del 1980.