Triple e triplette

[mark86]

Trova tutte le triple di numeri $ (x, y, z) $ tali che quando uno qualsiasi di questi numeri è aggiunto al prodotto degli altri due il risultato è $ 2 $

[enomis_costa88]

sicuro non ci sia scritto da nessuna parte i numeri sono positivi?

Senza perdita di generalità posso supporre:
x+yz=2

ora: se y;z=0 ho x=2 e le 2 terne:(2;0;z)(2;y;0)
di seguito supporrò $ z,y \not =0 $ e $ x \not = 2 $

se x=0 allora yz=2 da cui y=+-2;z=+-1 e la simmetrica ovvero 4 terne (0,2,1)(0,1,2)(0,-2,-1)(0,-1,-2)

se x<0 allora: pongo x=-k e ottengo: 2+k=yz ovvero 4 terne per qualsiasi divisore di 2+k (palesemente z e y devono dividere k+2). sia m(positivo) questo divisore.
le terne saranno: (-k,m, $ \frac{2+k}{m} $ )(-k,-m,- $ \frac{2+k}{m} $ ) e le simmetriche rispetto a y,z

se 2>x>0 allora x=1 ottengo yz=1 ovvero y=z=+-1

se x>2 ottengo x-2=-yz ovvero altre 4 terne per ogni divisore di x-2(analogamente a prima).
sia n(positivo) il divisore avrò: (x,-n, $ \frac{x-2}{n} $ )(x,n,- $ \frac{x-2}{n} $ ) e le simmetriche rispetto a y,z..

Buona serata

EDIT: ovviamente visto che il problema non specificava x+yz=2 ma poteva anche essere y+xz o z+xy=2 le terne soluzione sono quelle trovate a meno della scelta iniziale..

[jordan]

Trova tutte le triple di numeri $ (x, y, z) $ tali che quando uno qualsiasi di questi numeri è aggiunto al prodotto degli altri due il risultato è $ 2 $

E' da risolvere il sistema nelle tre equazioni cicliche $ x+yz=2 $. (Tra l'altro non è tdn.) Se x=1 allora y=z=1. Se nessuna è 1 allora prendendo le differenze otteniamo il sistema ciclico $ (x-y)(z-1)=0 $. Ma allora sono le variabili sono tutte uguali, cioè pari a 1 o -2.