Diofantee semplici semplici

[enomis_costa88]

Sono messe più o meno in ordine di difficoltà (comunque sono semplici)..e (sperando che gli admin non facciano troppe storie) ho deciso di postarle insieme perchè hanno soluzioni simili..
Trovare tutte le soluzioni intere (se vi sono..) delle seguenti:

1) $ x^2-3y^2=17 $
2) $ a^2+b^2=c^2 $ con $ a \equiv b \equiv 1 (mod 2) $
3) $ 15x^2-7y^2=9 $
4) $ x^2+y^2=x^2y^2 $
5) $ x+y=xy $
6) $ 2xy+3y^2=24 $
7) $ 3x^2-2y^2=1998 $
8) $ 3^k-1=x^3 $ e dimostrare che $ 3^k-1=x^n $ non ha soluzioni per $ n > 1 $ e $ n \not = 3 $ e K intero POSITIVO

Edit: corretta la 8..scusatemi :oops:

[peppeporc]

Queste sono una delle mie innumerevoli lacune. Mi potresti indicare dove trovare il metodo di svolgimento (se esiste) o comunque qualche escamotage per risolvere un'equazione diofantea? ti ringrazio

[enomis_costa88]

@peppeporc: ti spedisco subito un messaggio privato! queste (eccezione fatta forse per l'ultima che è un poco più difficile) sono semplici e penso che tra poco avremo qualche soluzione (leggere le soluzioni è uno dei metodi migliori per imparare)..spero.
PS mi è sembrato di capire che fph stia preparando una dispensa sulla teoria dei numeri..

[HiTLeuLeR]

[...] Mi potresti indicare dove trovare il metodo di svolgimento (se esiste) o comunque qualche escamotage per risolvere un'equazione diofantea?

Simone non me ne abbia, se dico anche la mia in proposito, peraltro ripetendo sostanzialmente i suoi stessi consigli! Per fortuna (ché altrimenti ci si perderebbe il gusto!) non esiste *un* metodo standard che funzioni su ogni diofantea: in pratica, non è come risolvere un'equazione algebrica di II grado in una variabile nel campo complesso, dove è disponibile una formula bella e pronta in cui piazzare i coefficienti e ottenere le soluzioni. Qui bisogna ingegnarsi, tutto lì! Certo lavorare di congruenze aiuta molto, e spesso conduce alle giuste conclusioni. Ma si tratta soltanto di pochi casi e fortunati, se (come del resto è ovvio) vai considerando l'ampia varietà dei problemi possibili. Al solito, il consiglio è di acquisire innanzitutto esperienza, magari leggendo le soluzioni proposte da altri a problemi appunto di questo genere. Credimi: ci vorrà un po' di tempo, all'inizio ti sentirai frustrato, poiché non ti ci raccapezzerai per alcun verso, pure sbattendoci contro la capa per ore ed ore ed ore! Ma un giorno, se avrai usato costanza e non ti sarai lasciato abbattere...

[HiTLeuLeR]

Risolvo la prima giusto per chiarire a peppeporc cosa intendevo dire con il messaggio precedente!

1) Risolvere in interi l'equazione $ x^2-3y^2=17 $

Supponiamo per assurdo che esistano interi $ x, y $ tali che $ x^2 - 3y^2 = 17 $. E allora devono pur essere uguali fra loro i resti delle divisioni intere del primo e del secondo membro per $ 3 $. Questo perché due numeri interi sono uguali solo se (N.B.: la condizione è solo necessaria!) sono anche uguali modulo un qualunque altro intero $ m \neq 0 $. La scelta del $ 3 $, piuttosto che del $ -18 $ o del $ 42 $-esimo primo di Mersenne, di là da tutte le teorizzazioni, è appunto suggerita solo e soltanto dall'esperienza. Ne segue $ x^2 \equiv x^2 -3y^2 \equiv 17 \equiv 2 \bmod 3 $, il che è assurdo! Infatti $ 2 $ non è un residuo quadratico $ \bmod\: 3 $, come puoi dedurre (ad esempio) sfruttando la legge di Gauss sul carattere quadratico di $ 2 $; o semplicemente notando che $ 0^2 \equiv 0 \bmod 3 $; $ (\pm 1)^2 \equiv 1 \bmod 3 $ e che ogni intero è necessariamente di una delle forme $ 3k $ e $ 3k\pm 1 $, per qualche $ k\in\mathbb{Z} $. Conclusione: no solutions!

Mamma mia, quant'è venuta lunga questa soluzione...

[peppeporc]

Ok è quello che volevo sapere visto che equazioni diofantee sono presenti a febbraio e visto che sono ignorante in materia (si è capito dalla mia domanda)

..e proprio xkè le ho trovate spesso ho sempre cercato di risolverle sbattendo la testa per molto tempo.
In realtà forse non ho esplicitato bene la mia richiesta: io intendevo domandare se c'è un modo non schematico, magari una via da intraprendere quando ci si trova dinanzi ad una equazione del genere. Se non c'è vorrà dire che continuerò a sbattere la testa e tenterò a risolvere quelle presenti in questo topic

@enomis: se vuoi puoi direttamente contattarmi con msn messenger o yahoo messenger se sei iscritto

[enomis_costa88]

Ok per Hit (ma poteva forse essere altrimenti)..e soprattutto se qualcuno ha dei dubbi chieda a Lui .

Allego quì per pura curiosità la provenienza degli esercizi:

1,2,3,4,5,6 Engel (strano ma anche lì ci sono esercizi semplici)
7 stage di Pisa 2002 primo esercizio del test finale.
8 Cesenatico 1999 sesto esercizio.

Buon lavoro.

[Franchifis]

Faccio il 4) ed il 5) che sono praticamente uguali:

4) Per prima cosa si ricava $ y^2 $ ottenendo $ \displaystyle y^2=\frac {x^2}{x^2-1} $. Ora, essendo numeratore e denominatore della frazione coprimi, perché $ y $ possa essere intero deve essere $ x^2-1=\pm1 $, che come soluzione intera ha solo $ x=0 $ (l'altra soluzione è $ \sqrt 2 $ e non è accettabile). Ricavata la $ y $ si ottiene l'unica soluzione $ (x,y)=(0,0) $.

5) Si segue lo stesso ragionamento del problema 4) solo che l'equazione risulta $ x-1=\pm 1 $ che ha due soluzioni che portano alle due soluzioni $ (0,0) $ e $ (2,2) $.

[HiTLeuLeR]

Risolvere negli interi l'equazione 5) $ x+y=xy $.

Siano $ x, y \in\mathbb{Z} $ tali che $ xy = x + y $. E allora $ xy - x - y + 1 = 1 $, ovvero $ (x-1)(y-1) = 1 $. E questo accade sse $ x-1 = y-1 = \pm 1 $. Le uniche soluzioni possibili si ottengono dunque ponendo $ x = y = 0 $ oppure $ x = y = 2 $.

[HiTLeuLeR]

Risolvere in interi l'equazione 4) $ x^2+y^2=x^2y^2 $.

Ponendo $ x^2 = u $ ed $ y^2 = v $, si è presto ricondotti a risolvere la diofantea del problema 5), per quindi concludere che le uniche soluzioni possibili a quella presa qui in considerazioni sono ottenute ammettendo $ x^2 = y^2 = 0 $, e quindi $ x = y = 0 $, oppure $ x^2 = y^2 = 2 $, che è impossibile.

[Franchifis]

Provo il 6):

Se cambio di segno entrambi $ x $ e $ y $ l'equazione è la stessa perciò potrò tralasciare alcuni numeri negativi e raddoppiare le soluzioni alla fine.

Dall'equazione originaria $ 2xy+3y^2=24 $ si deduce che $ y $ deve essere pari quindi opero la sostituzione $ y=2b $ ottenendo $ xb+3b^2=6 $. Da questa equazione si nota che uno solo tra $ x $ e $ b $ è multiplo di 3 (se lo fossero tutti e due il membro di sinistra risulterebbe multiplo di 9 e quindi diverso da 6). Distinguiamo dunque i due casi:

1) $ x $ è multiplo di 3 e sostituisco $ x=3a $ ottenendo $ ab +b^2=2 $ e quindi $ b(a+b)=2 $. 2 è un numero primo quindi $ b=1 $ oppure $ b=2 $ e per ognuno dei due casi si ricava la rispettiva $ a $ ottenendo le due soluzioni $ (a,b)=(1,1)\vee(-1,2) $.

2) Come prima solo che stavolta è $ b $ ad essere multiplo di 3, opero dunque la sostituzione $ b=3\beta $ ottenendo $ \beta(x+9\beta)=2 $. Ancora, 2 è primo quindi si ha $ \beta=1 $ oppure $ \beta=2 $ e per ognuno dei due casi si ricava l'altra variabile ottenendo le due soluzioni $ (x,\beta)=(-7,1)\vee(-17,2) $.

Ora si ricavano $ x $ e $ y $ dalle soluzioni trovate ottenendo otto soluzioni e ricordandosi dei segni tralasciati $ (x,y)=(3,2)\vee(-3,4)\vee(-7,6)\vee(-17,12) $ e anche $ (-3,-2)\vee(3,-4)\vee(7,-6)\vee(17,-12) $.

[HiTLeuLeR]

Risolvere in interi l'equazione 2) $ a^2+b^2=c^2 $, con $ a \equiv b \equiv 1 \bmod 2 $.

Siano $ a, b, c\in\mathbb{Z} $ tali che $ a^2 + b^2 = c^2 $. Poiché si ammette $ a \equiv b \equiv 1 \bmod 2 $, necessariamente allora $ c \equiv 0 \bmod 2 $, onde dedurne dover essere $ 2 \equiv a^2 + b^2 \equiv c^2 \equiv 0 \bmod 4 $, che è assurdo! Conclusione: nessuna soluzione possibile.

[HiTLeuLeR]

Risolvere in interi l'equazione 6) $ 2xy+3y^2=24 $.

Siano $ x, y $ interi tali che $ 2xy + 3y^2 = 24 $. In tal caso $ y^2 \equiv 0 \bmod 2 $, cosicché $ y = 2t $, per qualche $ t\in\mathbb{Z} $. Ne viene $ (x + 3t)\cdot t = 6 $, per cui $ t \mid 6 $, e dunque $ t \in\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} $. Se $ t = \pm 1 $, allora $ x \pm 3 = \pm 6 $, ovvero $ x = \pm 3 $ (rispettando la corrispondenza dei segni). Se ancora $ t = \pm 2 $, allora $ x \pm 6 = \pm 3 $, e quindi $ x = \mp 3 $ (con lo stesso accorgimento circa la scelta dei segni). Se poi $ t = \pm 3 $, allora $ x \pm 9 = \pm 2 $, ossia $ x = \mp 7 $ (vale la solita raccomandazione nell'abbinamento dei segni). Se infine $ t = \pm 6 $, con ragionamento analogo si trova $ x = \mp 17 $ (e non mi ripeto un'altra volta). Se ne conclude che tutte e sole le soluzioni di tipo $ (x,y) $ all'equazione proposta sono espresse dalle coppie ordinate $ (2; 3), (-2;-3), (4;-3), (-4;3), (6; -7), (-6;7), (12; -17), (-12; 17) $. FINE.

Se posto di questioni che già altri hanno affrontato è solo per mostrare approcci alternativi alla soluzione di uno stesso problema. Pertanto nessuno me ne voglia a male...

[Franchifis]

Tento di risolvere il problema otto :

Per la prima parte si comincia col notare che $ x=k=0 $ è una soluzione e poi si considera il caso $ x\geq1 $. Riscrivo l'equazione come $ 3^k=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) $ e si nota anche che necessariamente $ x\equiv2\pmod3 $ e quindi sostituisco $ x=3a+2 $ e ottengo $ 3^k=9(a+1)(3a^2+3a+1) $. Ora, deve essere per forza $ 3a^2+3a+1=1 $ perchè tale fattore non è una potenza del 3 (non è neanche un multiplo) e le due soluzioni sono $ a=-1\vee0 $ da cui $ x=-1\vee2 $. La prima di queste due soluzioni non va bene perché è negativa, ma la seconda va benissimo e quindi le soluzioni finali dell'equazione sono $ (x,k)=(0,0)\vee(2,2) $.


La seconda parte mi ha fatto dannare :
Escludo da subito le soluzioni del tipo $ x=k=0 $. Dunque, $ 3^k-1=x^n $. Per $ n $ pari non ci sono soluzioni perchè i quadrati non sono congruenti a 2 modulo 3. Pertanto $ n\geq5 $.

Per $ n=2m+1 $ si ha come prima che necessariamente $ x=3a+2 $, ma la scomposizione viene perniciosa: $ \displaystyle 3^k=(x+1)(x^{2m}-x^{2m-1}+...-x+1)=(x+1) \sum_{i=0}^{2m}(-x)^i $ oppure, che è lo stesso dopo la sostituzione, $ \displaystyle 3^{k}=3(a+1) \sum_{i=0}^{2m} (-3a-2)^i $.

Cominciamo a lavorare con le congruenze: $ \displaystyle \sum_{i=0}^{2m} (-3a-2)^i \equiv \sum_{i=0}^{2m}(-2)^i\equiv m+1-2m\equiv1-m \pmod3 $.
Ci sono sono quindi due casi:

Se $ m\equiv0\vee2\pmod3 $ allora proprio come prima devo risolvere l'equazione $ x^{2m}-x^{2m-1}+...-x+1=1 $ perchè il membro di sinistra è un fattore non multiplo di 3 che compare nell'equazione e quindi deve essere uguale a 1. Le soluzioni (reali) si ricavano facilmente e sono $ x=0\vee\pm1 $, ma nessuna delle tre va bene, come si verifica facilmente.

Se invece $ m\equiv1\pmod3 $ allora quel fattore è un multiplo di tre e ponendo $ m=3q+1 $ e rimettendolo nell'equaizone iniziale si arriva a $ 3^k=x^{2m+1}+1=x^{6q+3}+1={(x^ {2q+1} )}^3+1 $ che però non è altro che il caso particolare già trattato che ha due soluzioni che sono $ (0,0)\vee(2,2) $, nessuna delle quali va bene per $ x^{2q+1} $.
Di conseguenza non ci sono proprio soluzioni.

@ Hit: Non preoccuparti, nessuno te ne vorrà male per proporre soluzioni alternative (e magari correggere quelle sciagurate del sottoscritto...)

[HiTLeuLeR]

Risolvere in interi l'equazione 7) $ 3x^2-2y^2=1998 $.

L'equazione proposta ammette soluzioni in $ \mathbb{Z} $ sse ne ammette in $ \mathbb{N} $. Siano dunque $ x,y\in\mathbb{N} $ tali che $ 3x^2-2y^2=1998 $. Come lecito, poniamo $ x = 2^a \cdot 3^b \cdot u $ ed $ y = 2^c \cdot 3^d \cdot v $, dove $ a,b, c, d\in\mathbb{N} $ e $ \gcd(6,u) = \gcd(6,v) = 1 $. Operando le sostituzioni del caso e imponendo l'unicità della fattorizzazione in primi, si trova pertanto $ 2^{2a} \cdot 3^{2b+1} u^2 - 2^{2c+1} \cdot 3^{2d} v^2 = 2 \cdot 3^3 \cdot 37 $, donde necessariamente $ a = 1, c = 0, b = 2, d = 3 $, e quindi $ 2u^2 - 3v^2 = 37 $. Da qui $ -u^2 \equiv 1 \bmod 3 $, ovvero $ u^2 \equiv 2 \bmod 3 $, il che è impossibile, siccome $ 2 $ non è un residuo quadratico $ \bmod\: 3 $. Conclusione: niente soluzioni!