Somma di fattoriali
Somma di fattoriali
Calcola la somma $ 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! $
Dunque non resta che scrivere per benino la soluzione...
Claim: per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ \sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)! - 1 $.
Dim.: se $ n = 1 $, la tesi è banale, siccome $ 1 = 1 \cdot 1! = (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 1 $. Ammettendone poi la consistenza per un generico $ n\in\mathbb{N}_0 $, si trova $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = \left(\sum_{k=1}^n k \cdot k! \right) + (n+1) \cdot (n+1)! $. Da qui, stante l'ipotesi d'induzione: $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = (n+1)! - 1 + (n+1) \cdot (n+1)! $ $ = (n+1+1) \cdot (n+1)! - 1 = ((n+1) + 1)! - 1 $. Ne seguita l'asserto, q.e.d.
Da notare che questo tipo di problemi, specialmente nella formulazione data da mark86, sono pressoché privi di ogni senso, come del resto già Evariste, Mind & Co. hanno avuto ampio modo di sottolineare altrove (click).
Corretto il LaTeX. MindFlyer
Claim: per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ \sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)! - 1 $.
Dim.: se $ n = 1 $, la tesi è banale, siccome $ 1 = 1 \cdot 1! = (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 1 $. Ammettendone poi la consistenza per un generico $ n\in\mathbb{N}_0 $, si trova $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = \left(\sum_{k=1}^n k \cdot k! \right) + (n+1) \cdot (n+1)! $. Da qui, stante l'ipotesi d'induzione: $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = (n+1)! - 1 + (n+1) \cdot (n+1)! $ $ = (n+1+1) \cdot (n+1)! - 1 = ((n+1) + 1)! - 1 $. Ne seguita l'asserto, q.e.d.
Da notare che questo tipo di problemi, specialmente nella formulazione data da mark86, sono pressoché privi di ogni senso, come del resto già Evariste, Mind & Co. hanno avuto ampio modo di sottolineare altrove (click).Corretto il LaTeX. MindFlyer
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MindFlyer
Premetto di non aver cercato il problema sul giornalino(ci mancherebbe, a quest'ora poi 
) però è buffo scomodare l'induzione quando si ha tutto sotto gli occhi: $ \sum{ii!}=\sum{(i+1-1)\cdot i!}=\sum{(i+1)!}-\sum{i!}=(n+1)!-1 $
Edit:Thanks feddystra.
) però è buffo scomodare l'induzione quando si ha tutto sotto gli occhi: $ \sum{ii!}=\sum{(i+1-1)\cdot i!}=\sum{(i+1)!}-\sum{i!}=(n+1)!-1 $Edit:Thanks feddystra.
Ultima modifica di jordan il 23 giu 2009, 16:41, modificato 1 volta in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Presumo $ \dots=\sum{(i+1-1)i!}=\dots $jordan ha scritto:$ \dots=\sum{(i+1-1)!}=\dots $
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]