Somma di fattoriali

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mark86
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Somma di fattoriali

Messaggio da mark86 »

Calcola la somma $ 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! $
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Boll
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Messaggio da Boll »

(n+1)!-1
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moebius
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Messaggio da moebius »

Aggiungerei "per induzione" :wink:
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR »

Dunque non resta che scrivere per benino la soluzione...

Claim: per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ \sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)! - 1 $.

Dim.: se $ n = 1 $, la tesi è banale, siccome $ 1 = 1 \cdot 1! = (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 1 $. Ammettendone poi la consistenza per un generico $ n\in\mathbb{N}_0 $, si trova $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = \left(\sum_{k=1}^n k \cdot k! \right) + (n+1) \cdot (n+1)! $. Da qui, stante l'ipotesi d'induzione: $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = (n+1)! - 1 + (n+1) \cdot (n+1)! $ $ = (n+1+1) \cdot (n+1)! - 1 = ((n+1) + 1)! - 1 $. Ne seguita l'asserto, q.e.d.

:!: Da notare che questo tipo di problemi, specialmente nella formulazione data da mark86, sono pressoché privi di ogni senso, come del resto già Evariste, Mind & Co. hanno avuto ampio modo di sottolineare altrove (click).

Corretto il LaTeX. MindFlyer
mark86
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Messaggio da mark86 »

Una piccola domanda.. come si è arrivati alla formula (n+1)! - 1 ?? Per intuito?
Esiste per caso un metodo per ricavarla?
MindFlyer

Messaggio da MindFlyer »

Mettendosi a smanettare ci si può arrivare con l'intuito, almeno io la ricavai così a suo tempo (era un problema di un giornalino di fine 2001, se non ricordo male).
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info
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Messaggio da info »

Oppure provi a ricondurti ad una telescopica (nel famoso giornalino mi pare fosse risolta cosi ma nn ci giurerei)...
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jordan
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Messaggio da jordan »

Premetto di non aver cercato il problema sul giornalino(ci mancherebbe, a quest'ora poi :roll: ) però è buffo scomodare l'induzione quando si ha tutto sotto gli occhi: $ \sum{ii!}=\sum{(i+1-1)\cdot i!}=\sum{(i+1)!}-\sum{i!}=(n+1)!-1 $

Edit:Thanks feddystra.
Ultima modifica di jordan il 23 giu 2009, 16:41, modificato 1 volta in totale.
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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra »

jordan ha scritto:$ \dots=\sum{(i+1-1)!}=\dots $
Presumo $ \dots=\sum{(i+1-1)i!}=\dots $
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
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