Diofantea tanto elementare che mi vergogno a postarla

[peppeporc]

Visto che risolvendo..s'impara o meglio, guardando le soluzioni, vi sarei molto grato se risolvesti per me [e per altri che potranno trarne beneficio (suggerito da Hit)] questa diofantea:
8x + 5y = 81 , con x e y interi , non solo con l'algoritmo di Euclide, ma proponendo il massimo di soluzioni alternative che vi vengono in mente (attenti però a non rubare soluzioni ad altri ).

[enomis_costa88]

prima di tutto scrivo per bene la soluzione immediata e semplice (anche se non sempre la più veloce)..
le soluzioni di una diofantea di primo grado $ ax+by=c $ con $ c\not = 0 $ (ovvero diofantea non omogenea) si trovano con i seguenti passi:

Step 1) trovo una soluzione della diofantea ax+by=(a,b) che è in questo caso 1
risolvo: 8x+5y=1=(5,8 )
Usando l'algoritmo di Euclide (per trovare l'inverso di 5 modulo 8 ovvero quel numero tale che $ 5*i\equiv 1(mod8) $ ..in questo caso si trova anche a mano ed è -3 o 5 ma è sempre meglio tener presente l'algoritmo):
$ 8:5=1 ;r_1=3 $
$ 5:3=1 ;r_2=2 $
$ 3:2=1 ;r_3=1 $
$ 2:1=2 ;r_4=0 $
trovando le seguenti:
1=3-1*2
2=5-1*3
3=8-1*5

ovvero (dopo avere risolto il sistema..) 1=16-15 ovvero la coppia (x,y)=(2;-3)

Step 2)trovo una soluzione della diofantea proposta:
2*8*81-3*5*81=81 e la coppia (2*81;-3*81)

Step 3)trovo tutte le soluzioni di 8x+5y=0 (diofantea omogenea)
(a,b)=d=1=(8,5)
$ a= \alpha *d;8=8*1 $
$ b= \beta *d;5=5*1 $
le soluzioni dell'omogenea sono quelle con: $ x=\beta z;y=- \alpha *z $
al variare di z tra gli interi.
ovvero le soluzioni dell'omogenea sono: (x;y)=(5z;-8z)

Step 4) trovo tutte le soluzioni della diofantea proposta..
si trovano sommando una qualunque della non omogenea a tutte quelle dell'omogenea ovvero:
(x;y)=(5z+2*81;-8z-3*81)

Allego un simpatico lemmino che spiega un po' lo step 2: una diofantea ax+by=c ha soluzioni sse (a,b)=d con d|c in questo caso 1|81 e quindi la diofantea ha soluzioni.
Inoltre data una soluzione(n,m) di ax+by=d=(a,b) e posto d|c e c=kd moltiplico per k (81 in questo caso) e ottengo una soluzione(kn,km) della diofantea proposta.

EDIT: le cifre dei messaggi scritti da me (1;3;5) sono in progressione aritmetica

[peppeporc]

Ci sarebbe un modo più semplice per dire che ci sono infinite soluzioni?

[HiTLeuLeR]

Ci sarebbe un modo più semplice per dire che ci sono infinite soluzioni?

Certo che sì! Affinché l'equazione $ 8x + 5y = 81 $ ammetta infinite soluzioni in interi, è necessario e sufficiente ch'esistano infiniti $ y\in\mathbb{Z} $ tali che $ x = (81 - 5y)/8 $ sia esso stesso un intero. Il che si verifica sse $ 81 - 5y \equiv 0 \bmod 8 $, ovvero $ 5y \equiv 1 \bmod 8 $, e quindi $ y = 5 + 8k $, per qualsivoglia $ k\in\mathbb{Z} $. FINE.

[peppeporc]

Ok è la soluzione che cercavo solo che, (non avendo dimestichezza con le congruenze), mi spiegheresti come passi da
$ 81 - 5y \equiv 0 \bmod 8 $ a
$ 5y \equiv 1 \bmod 8 $, e quindi a
$ y = 5 + 8k $, per qualsivoglia $ k\in\mathbb{Z} $.

[HiTLeuLeR]

[...] mi spiegheresti come passi da $ 81 - 5y \equiv 0 \bmod 8 $ a $ 5y \equiv 1 \bmod 8 $, e quindi a $ y = 5 + 8k $, per qualsivoglia $ k\in\mathbb{Z} $?

Clicca qui! In base alla proprietà 4) di quella pagina: $ 81 - 5y \equiv 0 \bmod 8 $ sse $ (81 - 5y) + 5y \equiv 5y \bmod 8 $, ovvero $ 81 \equiv 5y \bmod 8 $. In pratica, vale per le congruenze la legge del trasporto che usualmente si applica nel risolvere le ordinarie equazioni che si studiano a scuola. Del resto, le congruenze sono relazioni simmetriche [proprietà 2)], e pertanto $ 81 \equiv 5y \bmod 8 $ sse $ 5y \equiv 81 \bmod 8 $. Senonché $ 81 \equiv 1 \bmod 8 $, poiché $ 8 \mid (81 - 1) $. E allora per transitività [proprietà 3)]: $ 5y \equiv 1 \bmod 8 $. Moltiplicando i due membri della congruenza per $ 5 $, com'è lecito sulla base dell'ulteriore proprietà 8) colà riportata, segue $ 5y \equiv 1 \bmod 8 $ sse $ 25y \equiv 5 \bmod 8 $. Eppure $ 25y \equiv y \bmod 8 $, siccome $ 8 \mid (25y - y) $, per ogni $ y\in\mathbb{Z} $. Ergo, ancora per transitività: $ y \equiv 5 \bmod 8 $, e perciò (secondo definizione) esiste $ k\in\mathbb{Z} $ tale che $ y = 5 + 8k $. Tutto qui...