Divisibilità da Mexico 1988

[Poliwhirl]

Se $ m $ e $ n $ sono interi positivi, dimostrare che $ 19 $ divide $ \displaystyle 11m+2n $ se e solo se divide $ \displaystyle 18m+5n $.

Bye,
#Poliwhirl#

[Spider]

Se $ m $ e $ n $ sono interi positivi, dimostrare che $ 19 $ divide $ \displaystyle 11m+2n $ se e solo se divide $ \displaystyle 18m+5n $.

Dobbiamo dimostrare che $ 19|11m + 2n $ è equivalente a $ 19|18m + 5n $. Chiaramente ciò equivale a dimostrare che $ 19|18\cdot(11m+2n) $ è vero se e solo se $ 19|11\cdot(18m + 5n) $, dal momento che 11 e 18 sono relativamente primi con 19. Ma $ 11\cdot(18m + 5n) - 18\cdot(11m+2n) = 19n $, perciò la loro differenza è divisibile per 19. Dunque se una delle due relazioni è vera, lo è anche l'altra.

[ma_go]

uhm... soluzione leggermente più "avanzata" teoricamente (nel senso che richiede un pochina di teoria in più):

$ 18m+5n \equiv 12(11m + 2n) \mod 19 $. (siccome $ 12 $ è primo con $ 19 $) abbiamo la tesi.

[Poliwhirl]

Ok, a entrambi. Preferisco quella di Spider perché ha speso qualche parolina in più .

Bye,
#Poliwhirl#