Find all polynomials $ \displaystyle p(x) $ such that $ \displaystyle (x-16) p(2x) = (16x-16) p(x) $.
Traduzione:
Trovare tutti i polinomi $ \displaystyle p(x) $ tali che $ \displaystyle (x-16) p(2x) = (16x-16) p(x) $.
Bye,
#Poliwhirl#
Irish Polinomio 1997
Dalla relazione data si ricava che per x=1 e x=16 si ha
p(2)=p(16)=0 e quindi si potra' scrivere
p(x)=[x-2][x-16]q(x) dove q(x) e' un polinomio da determinare.
Sostituendo p(x) nella relazione si ha
[x-16][2x-2][2x-16]q(2x)=[16x-16][x-2][x-16]q(x) ovvero
[x-8]q(2x)=4[x-2]q(x)
Ne risulta che per x=2 e x=8 e' q(4)=q(8 )=0 e quindi q(x)
si puo' mettere nella forma
q(x)=[x-4][x-8]h(x)
Ne segue che : p(x)=[x-2][x-4][x-8][x-16]h(x)
Reiterando il procedimento si ricava:
[x-16][2x-2][2x-4][2x-8][2x-16]h(2x)=[16x-16][x-2][x-4][x-8][x-16]h(x)
da cui h(2x)=h(x) .
Ora questa relazione e' vera per ogni x solo se h(x) e' una costante k e dunque:
p(x)=k[x-2][x-4][x-8][x-16]
p(2)=p(16)=0 e quindi si potra' scrivere
p(x)=[x-2][x-16]q(x) dove q(x) e' un polinomio da determinare.
Sostituendo p(x) nella relazione si ha
[x-16][2x-2][2x-16]q(2x)=[16x-16][x-2][x-16]q(x) ovvero
[x-8]q(2x)=4[x-2]q(x)
Ne risulta che per x=2 e x=8 e' q(4)=q(8 )=0 e quindi q(x)
si puo' mettere nella forma
q(x)=[x-4][x-8]h(x)
Ne segue che : p(x)=[x-2][x-4][x-8][x-16]h(x)
Reiterando il procedimento si ricava:
[x-16][2x-2][2x-4][2x-8][2x-16]h(2x)=[16x-16][x-2][x-4][x-8][x-16]h(x)
da cui h(2x)=h(x) .
Ora questa relazione e' vera per ogni x solo se h(x) e' una costante k e dunque:
p(x)=k[x-2][x-4][x-8][x-16]