Ecco un paio di problemi di Teoria Geometrica dei Numeri. Per quelli, come me, che amano i numeri, ma non ci capiscono una cippa, di Geometria... 
$ \displaystyle x^2+p=y^2 \mbox{ }\Longrightarrow\mbox{ } p=y^2-x^2=(y-x)(y+x) $; senza perdere di generalità, possiamo supporre $ \displaystyle x,y\in\mathbb{N^{*}} $ e $ \displaystyle y>x $; poiché $ \displaystyle p\in\mathfrak{P} $ allora $ \displaystyle y-x=1 \mbox{ }\Longrightarrow\mbox{ } y=x+1 $ che sostituito in $ \displaystyle x+y $ ci dà $ \displaystyle p=2x+1 $; poiché ogni primo di $ \displaystyle \mathbb{N} $, escluso $ 2 $, è della forma $ \displaystyle 2x+1 $ esistono infiniti $ x $, e di conseguenza infiniti $ y $, che soddisfano le richieste del problema.HiTLeuLeR ha scritto:Problema #1: provare ch'esistono infiniti quadrati perfetti che si possono esprimere come somma di un quadrato perfetto e di un numero primo di $ \mathbb{N} $.
Senza perdita di generalità supponiamo $ \displaystyle x,y\in\mathbb{N} $; inoltre $ \displaystyle y^2=p $ è impossibile poiché $ \displaystyle p\in\mathfrak{P} $, dunque $ \displaystyle x^2>0 $ e quindi $ \displaystyle y>x $. Abbiamo $ \displaystyle p=y^2-x^2 \Longrightarrow p=(y-x)(y+x) $; quest'ultima produce sempre numeri composti a meno che $ \displaystyle x=y-1 $. Dunque, dopo sostituzione, ci resta da dimostrare che $ \displaystyle 2y-1 $ produce infiniti composti; e questo è vero dato che $ \displaystyle 2y-1 $ produce tutti i multipli di $ 3 $ dispari. Infatti $ \displaystyle 2y-1\equiv 0\mbox{ }(\bmod\mbox{ }3) $ per ogni $ \displastyle y=2+3k $ con $ \displaystyle k\in\mathbb{N} $.HiTLeuLeR ha scritto:Problema #2: mostrare (dualmente) ch'esistono infiniti quadrati perfetti che *non* si possono esprimere come somma di un quadrato perfetto e di un numero primo di $ \mathbb{N} $.
Adesso l'altro, però! Questo era davvero banale... 
