Dimostrare il seguente teorema:
Se in un triangolo due angoli sono diversi, le loro bisettrici incontrano i lati opposti in due punti di cui quello che sta sulla bisettrice dell’angolo maggiore dista maggiormente dal lato comune ai due angoli.
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Io ho trovato solo una dimostrazione molto brutta (ho usato la trigonometria per calcolare e confrontare le due distanze). Chi sa fare di meglio?
Intersezioni con le bisettrici
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MindFlyer
Ciau gianmaria, eccoti una dimostrazione che usa solo il teorema della bisettrice.
ABC è il triangolo, D ed E le intersezione delle bisettrici con i lati (con D su BC ed E su AC). Supponiamo AC>BC (questo equivale a dire che l'angolo in B è maggiore dell'angolo in A, per un noto teorema).
Siccome D è equidistante da AB e da AC, mentre E è equidistante da AB e da BC, il problema si riduce a dimostrare che EC>DC (similitudine tra triangoli rettangoli...).
Per il teorema della bisettrice,
$ \frac{BC}{BD}=\frac{DC}{BD}+1 =\frac{AC}{AB}+1>\frac{BC}{AB}+1= \frac{EC}{AE}+1=\frac{AC}{AE} $,
da cui (usando ancora il teorema della bisettrice)
$ 1<\frac{BC\cdot AE}{AC\cdot BD}=\frac{BC\cdot AE}{AB}\cdot\frac{AB}{AC\cdot BD}=\frac{EC}{DC} $.
Ne segue che EC>DC, e la tesi è provata.
ABC è il triangolo, D ed E le intersezione delle bisettrici con i lati (con D su BC ed E su AC). Supponiamo AC>BC (questo equivale a dire che l'angolo in B è maggiore dell'angolo in A, per un noto teorema).
Siccome D è equidistante da AB e da AC, mentre E è equidistante da AB e da BC, il problema si riduce a dimostrare che EC>DC (similitudine tra triangoli rettangoli...).
Per il teorema della bisettrice,
$ \frac{BC}{BD}=\frac{DC}{BD}+1 =\frac{AC}{AB}+1>\frac{BC}{AB}+1= \frac{EC}{AE}+1=\frac{AC}{AE} $,
da cui (usando ancora il teorema della bisettrice)
$ 1<\frac{BC\cdot AE}{AC\cdot BD}=\frac{BC\cdot AE}{AB}\cdot\frac{AB}{AC\cdot BD}=\frac{EC}{DC} $.
Ne segue che EC>DC, e la tesi è provata.
Grazie mille! Proprio non vedevo la similitudine fra i triangoli rettangoli. Ferma restando l’idea base, suggerisco però di abbreviare i calcoli in questo modo:
Per il teorema della bisettrice, si ha CE:CA =CB:(CB+AB) da cui si ricava CE =CA*CB/(CB+AB); analogamente si ha CD =CB*CA/(CA+AB). Le due frazioni hanno lo stesso numeratore, per cui sarà maggiore quella con denominatore minore: da CA>CB si ricava CE>CD.
Per il teorema della bisettrice, si ha CE:CA =CB:(CB+AB) da cui si ricava CE =CA*CB/(CB+AB); analogamente si ha CD =CB*CA/(CA+AB). Le due frazioni hanno lo stesso numeratore, per cui sarà maggiore quella con denominatore minore: da CA>CB si ricava CE>CD.