Ho provato a fare questo problema, ma mi esce un risultato diverso da quello del libro, anche se le due curve dei risultati sono più o meno simili, anche se una è un'iperbole e l'altra un'esponenziale. Il problema è questo:
Per effetto del propio peso un conduttore di lunghezza l=1m e massa m=0,1Kg scivola in caduta, senza frizione significativa e partendo de fermo, lungo le guide conduttrici verticali che sono collegate da una resistenza elettrica R=10 ohm. Un campo magnetico uniforme B=0,4T è perpendicolare al piano del circuito. In queste condizioni si genera nel circuito, chiuso dal conduttore mobile, una corrente indotta che tende a rallentare la caduta di quest'ultimo. Trascurando l'attrito con l'aria trovare l'accelerazione di caduta del conduttore e la sua evoluzione nel tempo.
Per favore includete la dimostrazione.
Accelerazione variabile
Allora, provo a risponderti...
Procediamo con ordine.
Per la legge di faraday si origina una corrente pari alla derivata del flusso tagliato rispetto al tempo. Fatto un disegnino e chiamato FL il flusso di B.
FL = x l B
d/dt FL = v l B = f.e.m.
e per la legge di Ohm
i = f.e.m. / R = (v l B) / R
dove v dipende dal tempo…
Il conduttore e sottoposto alla forza di Laplace ed alla forza peso, opposte, quindi preso come positivo il verso della forza peso, applico la legge di Newton F=m*a, da cui:
Mg - i l B = Ma
Sostituendo la corrente arrivo all’equazione differenziale
A – v B = C * dv / dt [1]
Con A=Mg, B = (lB)^2/R, C=M
Fortunatamente l’equazione e a variabili separabili e la riscriviamo come
1/(A – v B) * dv = dt / C
integrando i due membri
ln | (A – v B) /A | = – t (B/C)
dove e stato posto v = 0 per to=0 e v nell’equazione è la velocità al tempo t. Ricavando v:
A* e^ (-t*B/C) = | A – v B |
Ora notiamo che A – v B > 0 in quanto nella [1] sappiamo che la velocita aumenterà sempre fino a raggiungere un valore limite..
v = A/B * [1-e^(-t*B/C]
l’accelerazione e dv/dt e qualche calcolo porta a
a = A/C * e^(-t*B/C)
Spero che sia corretto. Ciao!
Procediamo con ordine.
Per la legge di faraday si origina una corrente pari alla derivata del flusso tagliato rispetto al tempo. Fatto un disegnino e chiamato FL il flusso di B.
FL = x l B
d/dt FL = v l B = f.e.m.
e per la legge di Ohm
i = f.e.m. / R = (v l B) / R
dove v dipende dal tempo…
Il conduttore e sottoposto alla forza di Laplace ed alla forza peso, opposte, quindi preso come positivo il verso della forza peso, applico la legge di Newton F=m*a, da cui:
Mg - i l B = Ma
Sostituendo la corrente arrivo all’equazione differenziale
A – v B = C * dv / dt [1]
Con A=Mg, B = (lB)^2/R, C=M
Fortunatamente l’equazione e a variabili separabili e la riscriviamo come
1/(A – v B) * dv = dt / C
integrando i due membri
ln | (A – v B) /A | = – t (B/C)
dove e stato posto v = 0 per to=0 e v nell’equazione è la velocità al tempo t. Ricavando v:
A* e^ (-t*B/C) = | A – v B |
Ora notiamo che A – v B > 0 in quanto nella [1] sappiamo che la velocita aumenterà sempre fino a raggiungere un valore limite..
v = A/B * [1-e^(-t*B/C]
l’accelerazione e dv/dt e qualche calcolo porta a
a = A/C * e^(-t*B/C)
Spero che sia corretto. Ciao!
Ultima modifica di info il 26 ago 2005, 17:03, modificato 1 volta in totale.