Costruzione con la sola riga

[mens-insana]

Dato un punto P costruire con la sola riga le tangenti ad un cerchio dato.
ps. non si conosce il centro del cerchio.

[mens-insana]

Non è che per favore potreste darmi almeno un aiutino o qualche idea?....grazie...

[MindFlyer]

Che carino, non credevo che si potesse fare!!

Allora, fai così:
- Traccia 2 rette distinte per P e secanti la circonferenza in A, B e C, D rispettivamente.
- Traccia AD e BC, che si intersecano in E.
- Traccia AC e BD, che si intersecano in F (se sono parallele, sposta la retta PCD e rifai).
- Traccia EF, che interseca la circonferenza in T e T'.
- Le rette PT e PT' sono le due tangenti per P alla circonferenza.

Non ti resta che dimostrarlo.

[EvaristeG]

Beh, a questo punto, qualcuno lo dimostri per una generica conica ... non so, quei 9 che allo stage di Pisa hanno sentito parlare di rette che si incontrano all'infinito e simili ci si potrebbero lanciare...

[mens-insana]

Grazie mille!

[desko]

In Matematica c'è la tendenza a minimizzare, ad economizzare; così se un assioma è ridondante lo si elimina.

Ma qui c'è un'eccezione storica: le costruzioni con riga e compasso si possono fare col solo compasso, a parte il tracciamento delle rete. ma se ho due rette date come coppie di punti o voglio intersecarle, il compasso mi basta per trovare il punto di intersezione.
Algebricamente equivale a risolvere equazioni di primo grado ricorrendo a quelle di secondo grado (un po' assurdo, ma fattibile).
Ovviamente il contrario (far tutto con la sola riga) non funziona, perché equivarrebbe a risolvere equazioni di secondo grado tramite quelle di primo grado. Ma con la piccola ipotesi aggiuntiva di avere già una circonferenza tracciata (come nel nostro caso) allora tutto è possibile, eccetto tracciare le circonferenze; ma, come prima, se due circonferenze sono date come terne di punti non allineati, è possibile trovare le due (eventuali) intersezioni solo con la riga e la generica circonferenza già disegnata.
Algebricament equivale a risolvere equazioni di secondo grado trasformandole tramite equazioni lineari in una di 2° grado data.

nonostante tutto questo si continua a dire "costruzioni con riga e compasso".

[fph]

Ma non serviva avere anche il centro della circonferenza data?

[desko]

Ma non serviva avere anche il centro della circonferenza data?

La costruzione proposta da MindFlyer non lo usa; per quel che può valere l'ho sperimentata con Cabri ed effettivamente funziona, in attesa di dimostrarla.

[fph]

no, no, per questo non serve il centro, sono d'accordo, ma dicevo in generale, in risposta a:

Ovviamente il contrario (far tutto con la sola riga) non funziona, perché equivarrebbe a risolvere equazioni di secondo grado tramite quelle di primo grado. Ma con la piccola ipotesi aggiuntiva di avere già una circonferenza tracciata (come nel nostro caso) allora tutto è possibile, eccetto tracciare le circonferenze;