La solita (!) disuguaglianza coi numeri di Fibonacci

[HiTLeuLeR]

Invito caldamente il mio caro amico Giulio (alias metafisic) a non intervenire su questo topic!

Problema: mostrare che, per ogni $ n\in\mathbb{N} $: $ F_n^{4} F_{n+1}^4 \leq n^3 (F_1^8 + F_2^8 + \ldots + F_n^8) $, ove $ F_0 = 0 $, $ F_1 = 1 $ ed $ F_{k+2} = F_{k+1} + F_k $, quando $ k\in\mathbb{N} $.

[enomis_costa88]

Dimostro che se n>2 la tesi è vera.

1) Se n=3: $ 2^4 3^4 \leq 3^3(1+1+2^8) $ che è vera

2) sia $ F_{n+1}=F_n+F_{n-1} $ la tesi diventa:

$ F_n^4(F_n+F_{n-1})^4 \leq n^3(\sum^n_{i=1} F_i^8) $

l'ipotesi induttiva è :
$ F_n^4F_{n-1}^4 \leq (n-1)^3(\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8) $

ma
$ F_n^4F_{n-1}^4+F_n^4[4F_nF_{n-1}^3 + 6 F_n^2F_{n-1}^2+ 4 F_n^3 F_{n-1}+ F_n^4] $ = $ F_n^4(F_n+F_{n-1})^4 = F_n^4F_{n+1}^4 $

e
$ n^3 F_{n}^8+(-3n+3n^2+1)(\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8) $ +$ (n-1)^3(\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8) $ = $ n^3(\sum^n_{i=1} F_i^8) $

mi rimane quindi da dimostrare che (perchè è ciò che si somma all'ipotesi induttiva per ottenere la tesi):

$ n^3 F_{n}^8+(-3n+3n^2+1)(\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8) $ $ \ge $ $ F_n^4[4F_nF_{n-1}^3 + 6 F_n^2F_{n-1}^2+ 4 F_n^3 F_{n-1}+ F_n^4] $

ora se $ (-3n+3n^2+1) $è positivo (e lo è sempre per n>2).. posso limitarmi a dimostrare:

$ n^3 F_{n}^8 \ge F_n^4[4F_nF_{n-1}^3 + 6 F_n^2F_{n-1}^2+ 4 F_n^3 F_{n-1}+ F_n^4] $ dove per la crescenza della successione F_n ottengo che: $ F_{n}^8 \ge F_{n-1}^j F_{n}^k $ ove j,k sono naturali e j+k=8

se $ n^3 \ge 4+6+4+1 $ (ove 4;6..; $ n^3 $ sono i coefficienti dei termini di ottavo grado..) allora la tesi è vera ovvero è vera per n>2
per gli altri casi posso verificare direttamente..

n=2: $ 2^4 \leq 2^3(1+1) $
n=1: $ 1 \leq 1^3(1) $
che sono tutte vere..

EDIT: corretto il tex.
EDIT: corretti due segni.

[Simo_the_wolf]

Altrimenti si può dimostrare (lo lascio per esercizio) che $ \displaystyle \sum_{i=0}^n F_i^2 = F_nF_{n+1} $ e poi applicare una disuguaglianza tra medie.

[HiTLeuLeR]

Dimostro che se n>2 la tesi è vera. [...]
$ n^3 F_{n}^8+(3n+3n^2-1)(\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8) $ +$ (n-1)^3(\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8) $ = $ n^3(\sum^n_{i=1} F_i^8) $

Toh: $ \displaystyle n^3 F_{n}^8+(3n+3n^2-1)\cdot\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8 $ $ +\displaystyle (n-1)^3\cdot\sum^{n-1}_{i=1} F_i^8 $ $ = \displaystyle n^3\cdot \sum^{n}_{i=1} F_i^8 + $ $ \displaystyle (6n-2)\cdot \sum^{n-1}_{i=1} F_i^8 \neq n^3\cdot\sum^n_{i=1} F_i^8 $.

I tuoi conti non quadrano, enomis... Ci sta una disattenzione di troppo in un paio di segni. Vedi di dargli una sistematina, su... A parte questo, la soluzione è corretta.

@Simo_the_Wolf: che dire?! Superlativo!

[enomis_costa88]

I tuoi conti non quadrano, enomis... Ci sta una disattenzione di troppo in un paio di segni. Vedi di dargli una sistematina, su... A parte questo, la soluzione è corretta.

è vero avrei dovuto scrivere $ (3n^2-3n+1) $ invece che $ (3n^2+3n-1) $ però poi anche la prima espressione è positiva per n>2 e quindi la dimostrazione si può aggiustare
Se non è fortuna questa..

[enomis_costa88]

Altrimenti si può dimostrare (lo lascio per esercizio) che $ \displaystyle \sum_{i=0}^n F_i^2 = F_nF_{n+1} $ e poi applicare una disuguaglianza tra medie.

procediamo per induzione:

1) $ F_1F_2=1=F_1^2+F_0^2 $

2) ipotizzo che $ \sum_{i=0}^{n-1}F_i^2=F_nF_{n-1} $
so che $ F_nF_{n+1} $ = $ F_n(F_n+F_{n-1}) $= $ F_n^2+F_nF_{n-1} $= $ F_n^2+\sum_{i=0}^{n-1}F_i^2 $= $ \sum_{i=0}^{n}F_i^2 $che è la tesi induttiva..

la tesi diventa:
$ (\sum_{i=0}^{n}F_i^2 )^4 $ $ \leq $ $ n^3 \sum^{n}_{i=0}F_i^8 $
ovvero:
$ n^4(M_2)^8 \leq n^4(M_8)^8 $ ove $ M_p $ è la media di ordine p intesa tra i primi n numeri di Fibonacci (possiamo tralasciare $ F_0 $..). Questa disuguaglianza è vera perchè $ n^4 $ è intero positivo (o nullo se consideriamo anche n=0) e per la disuguaglianza tra medie.