Senza calcolatrice

[Simo_the_wolf]

Calcolare, SENZA CALCOLATRICE la parte intera della seguente somma:

$ \displaystyle \frac 1{\sqrt{1}}+ \frac 1{\sqrt{2}} + \frac 1{\sqrt{3}} + ... + \frac 1{\sqrt{1000}} $

[Leblanc]

Beh, cerco di telescopizzare quella somma...
noto che
$ \sqrt{x(x+1)} \leq \frac{2x+1}{2} $
per AM-GM;
cioè
$ 2(\sqrt{x(x+1)} -x) \leq 1 $
$ 2(\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) \leq \frac {1}{\sqrt{x}} $
Quindi sostituisco nella formula di partenza, ottenendo che:
$ 61 < 2(\sqrt{1001}-1) \leq 2 \sum_{x=1}^{1000} \sqrt{x+1} -\sqrt{x} \leq \sum_{x=1}^{1000} \frac {1}{\sqrt{x}} $

Devo dimostrare a questo punto che la somma è minore di 62, poi ho finito...
Uso il fatto che
$ \sqrt{x(x-1)} \leq \frac{2x-1}{2} $
$ 1 \leq 2 (x - \sqrt{x(x-1)}) $
$ \frac{1}{\sqrt{x}} \leq 2 (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) $
Sostituisco nel testo del problema:
$ \sum_{x=1}^{1000} \frac {1}{\sqrt{x}} \leq 2 \sqrt{1000} < 62 $
Dunque la parte intera cercata è 61.

Ciao!
Maria

[HumanTorch]

Rilancio: è possibile trovare una soluzione utilizzando l'inversione? Mi spiego meglio: prendiamo un segmento AB di lunghezza unitaria e ne costruisco un secondo congruente, consecutivo e perpendicolare al primo: sia esso AA'. Per Pitagora, BA'=$ \sqrt{2} $. Costuendo un segmento congruente a BA', perpendicolare a AB e ad esso consecutivo sempre in A, reiterando il processo, ottengo un segmento su cui i punti segnati sono lunghi $ \sqrt{i} $. Applicando l'inversione su una circonferenza di raggio unitario, riusciremmo a cavarne qualcosa? Ho tentato di trovare un algoritmo per $ \sqrt{i+1}-\sqrt{i} $, telescopizzando (prendiamo $ \sqrt{i+1}-\sqrt{i}=\frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}<\frac{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}{\sqrt{i(i+1)}} $$ =\frac{1}{\sqrt{i}}+\frac{1}{\sqrt{i+1}} $) ma niente...

[elianto84]

1/sqrt(x) monotona decrescente, segue

$ \int_{1}^{N+1} \frac{1}{\sqrt x}\, dx < \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sqrt i} < \sum_{i=1}^6 \frac{1}{\sqrt i} +\int_{6}^{N} \frac{1}{\sqrt x}\, dx $

da cui

$ 61.277 < \sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{\sqrt i} < 61.987 $

(mi rendo conto che è un po' pesante...)

[MindFlyer]

(mi rendo conto che è un po' pesante...)

Se non altro perché mi sa che tu, una calcolatrice o simile l'hai usata...