Siamo alle solite: 3^x + 4^y = 7^z
Siamo alle solite: 3^x + 4^y = 7^z
Problema: risolvere in interi l'equazione $ 3^x + 4^y = 7^z $.
Mh,direi che l'unica soluzione è $ (1,1,1) $.
Step 1:Consideriamo dapprima il caso in cui $ x,y,z $ sono positivi:
1.1 Poniamo $ y > 1 $.Modulo 16,le congruenze delle potenze di 3 sono $ 3,9,11,1 $,quelle delle potenze di 7 sono $ 7,1 $.Dunque $ x,z $sono pari.Modulo 15,le congruenze per le potenze pari di 3 sono $ 9,6 $ ,quelle di 4 sono $ 4,1 $, quelle pari di 7 sono $ 4,1 $;dunque,non esistono soluzioni.
1.2 Risolviamo ora l'equazione $ 7^z - 3^x = 4 $(problema che è comparso al preIMO,tra l'altro).
Modulo 8,otteniamo che $ z,x $ devono essere dispari,in quanto le potenze di 7 valgono $ 7,1 $ e quele di 3 $ 3,1 $.Modulo 27,otteniamo che $ z \equiv 2 mod 3 $,a meno che $ x=1 $.Ma modulo 13 $ z = 6k + 5 \equiv 11 $,mentre le congruenze di 3 sono $ 3,9,1 $.dunque non ci sono soluzioni,se non nel caso banale $ (1,1,1) $.
Step 2:Se almeno uno tra $ x,y,z $ è negativo,otteniamo una somma tra frazioni e interi;tuttavia,poichè $ 3,4,7 $ sono primi tra loro presi a due a due,l'uguaglianza non potrà mai sussistere,in quanto al denominatore da una parte compare un numero nella forma $ 3^a 4^b $,con $ a,b \geq 0 $,e dall'altra uno nella forma $ 7^c $,con la stessa condizione di $ a,b $.
Step 3:Almeno uno tra $ x,y,z $ è 0.Sostituendo,è evidente che non esiste una soluzione se almeno due di questi sono uguali a 0.
Rimangono quindi da risolvere le equazioni $ 3^x + 4^y = 1 $,$ 7^z - 4^y = 1 $,$ 7^z - 3^x = 1 $.
La prima si vede facilmente che non ha soluzioni,in quanto $ x,y $ dovrebbero essere negativi,ma abbiamo appena dimostrato che ciò è assurdo.
Per la seconda,si ha$ 7^z - 1 = 4^y $,ma $ 6| 7^z - 1 $,e non può dividere una potenza di 4.Analogamente $ 7^z - 1 = 3^x $ non ha soluzione per lo stesso motivo,e questo conclude la dimostrazione.
Step 1:Consideriamo dapprima il caso in cui $ x,y,z $ sono positivi:
1.1 Poniamo $ y > 1 $.Modulo 16,le congruenze delle potenze di 3 sono $ 3,9,11,1 $,quelle delle potenze di 7 sono $ 7,1 $.Dunque $ x,z $sono pari.Modulo 15,le congruenze per le potenze pari di 3 sono $ 9,6 $ ,quelle di 4 sono $ 4,1 $, quelle pari di 7 sono $ 4,1 $;dunque,non esistono soluzioni.
1.2 Risolviamo ora l'equazione $ 7^z - 3^x = 4 $(problema che è comparso al preIMO,tra l'altro).
Modulo 8,otteniamo che $ z,x $ devono essere dispari,in quanto le potenze di 7 valgono $ 7,1 $ e quele di 3 $ 3,1 $.Modulo 27,otteniamo che $ z \equiv 2 mod 3 $,a meno che $ x=1 $.Ma modulo 13 $ z = 6k + 5 \equiv 11 $,mentre le congruenze di 3 sono $ 3,9,1 $.dunque non ci sono soluzioni,se non nel caso banale $ (1,1,1) $.
Step 2:Se almeno uno tra $ x,y,z $ è negativo,otteniamo una somma tra frazioni e interi;tuttavia,poichè $ 3,4,7 $ sono primi tra loro presi a due a due,l'uguaglianza non potrà mai sussistere,in quanto al denominatore da una parte compare un numero nella forma $ 3^a 4^b $,con $ a,b \geq 0 $,e dall'altra uno nella forma $ 7^c $,con la stessa condizione di $ a,b $.
Step 3:Almeno uno tra $ x,y,z $ è 0.Sostituendo,è evidente che non esiste una soluzione se almeno due di questi sono uguali a 0.
Rimangono quindi da risolvere le equazioni $ 3^x + 4^y = 1 $,$ 7^z - 4^y = 1 $,$ 7^z - 3^x = 1 $.
La prima si vede facilmente che non ha soluzioni,in quanto $ x,y $ dovrebbero essere negativi,ma abbiamo appena dimostrato che ciò è assurdo.
Per la seconda,si ha$ 7^z - 1 = 4^y $,ma $ 6| 7^z - 1 $,e non può dividere una potenza di 4.Analogamente $ 7^z - 1 = 3^x $ non ha soluzione per lo stesso motivo,e questo conclude la dimostrazione.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
Abbiamo fra noi uno specialista del discorso ellittico, si direbbe...thematrix ha scritto:[...] Risolviamo ora l'equazione $ 7^z - 3^x = 4 $. [...] Ma modulo 13, [dacché] $ z = 6k + 5 $, [risulta] $ [7^z] \equiv [\pm]\;\! 11 $, mentre le congruenze di 3 sono $ 3,9,1 $. Dunque non ci sono soluzioni, se non nel caso banale $ (1,1,1) $. [...]
In quanto al resto, la soluzione può andar bene......sebbene le condizioni imposte sugli esponenti, relativamente al caso preso in esame, sarebbero un attimo da chiarificare.thematrix ha scritto:Step 2: se almeno uno tra $ x,y,z $ è negativo, [...] al denominatore da una parte compare un numero nella forma $ 3^a 4^b $, con $ a,b \geq 0 $, e dall'altra uno nella forma $ 7^c $, con la stessa condizione di $ a,b $.