10^x+11^x+12^x=13^x+14^x

[Leblanc]

Trovare tutte le soluzioni reali dell'equazione:
$ 10^x+11^x+12^x=13^x+14^x $
Buon divertimento!
Maria

[elianto84]

Che non esistano radici negative è abbastanza evidente:
$ x < 0 \Rightarrow 10^x>13^x ,\quad 11^x>14^x ,\quad 12^x>0 $

per x>=0 basta vedere che

$ f(x)=13^x+14^x-(10^x+11^x+12^x) $

è una funzione C-1 con un minimo localizzato tra 1 e 2 (zero della derivata),
in tale minimo la f è negativa, dal minimo in poi la f è strettamente crescente.
Segue che esiste un unico x reale per cui

$ 10^x+11^x+12^x=13^x+14^x $

confidando nella bontà del propositore del problema possiamo cercare
la soluzione tra i numeri naturali... e vedere che x=2 funziona.

[EvaristeG]

Mi si perdoni l'ot parziale ... ma vengo a parlarvi di analisi :
la derivata di $ a^x $ è $ a^x\ln a $; quindi in particolare la derivata della nostra funzioncina è $ 13^x\ln 13+14^x\ln 14-10^x\ln 10 -11^x\ln 11 - 12^x\ln 12 $.

Ora ... capire dove si annulla costei mi sembra lievemente più complicato del capire quando si annulla quella proposta, quindi .... jack, come hai fatto a studiare il segno della derivata?

[elianto84]

Beh per studiare la derivata... studi la derivata seconda.
Ad un certo punto ti fermi, dato che una somma di TOT esponenziali
è soluzione di un'equazione differenziale del tipo

$ \sum_{j=1}^{\text{TOT}} a_j f^{(j)}(x) = a_0 $

(sottoposta alle ovvie condizioni iniziali)
Nel nostro caso abbiamo 5 esponenziali, lo studio si può dunque
arrestare alla derivata quinta...

[EvaristeG]

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