Se lui è incentro, lei biseca

[EvaristeG]

Sia ABC un triangolo con incentro I; sia D l'intersezione di AI con BC. Dimostrare che, comunque preso M sulla circonferenza circoscritta a BCI, MI biseca $ \angle DMA $.

Questo problema DEVONO riuscire a farlo tutti quelli che hanno partecipato allo stage di settembre a Pisa!!

Se poi chi posta soluzioni potesse rimpicciolirle (usando quindi poco o niente di tex), sarebbe gradito.

[phi]

Consideriamo il luogo dei punti P tali che PI bisechi A^PD; avremo, per il teorema delle bisettrici, che AI:ID=AP:PD per ogni P del luogo; inoltre, se vale questa relazione, PI è bisettrice di A^PD, e P appartiene al luogo. Perciò il nostro luogo non è altro che la circonferenza di Apollonio comprendente tutti i punti P tali che AP=k*PD, con k=AI/ID. Ora, a questa ciconferenza appartengono B (per il teorema della bisettrice, AB=k*BD), C (AC=k*CD) e I (ovviamente AI=k*ID). Quindi si tratta proprio della circonferenza circoscritta a CIB, e qualsiasi punto M che le appartenga è tale che MI biseca D^MA. c.v.d.

[EvaristeG]

Ok, uno stagista l'ha risolta e non ha postato, un'altra ha risolto e postato! Forza gente, qualche altra soluzione?!?!
E non sbirciate quella di phi .... cercate di essere originali! Conosco una sola soluzione, ma nulla vieta che ce ne siano altre (soprattutto perchè trovata la prima non ne ho cercate altre).

[mattilgale]

osserviamo ch dato che IC è bisettrice di ACD allora AI/ID=AC/CD=a(per non usare il LaTeX, ma era molto meglio usando lambda ) e questo rapporto determina una crconferenza di Apollonio tale che dato un punto P della ciconfernza AP=aPI
consideriamo l'angolo ABD di bisettrice IB, si ha AI/ID=AB/BD=a, quindi i punti C, I, B stanno sulla circonferenza cercata che altro non è che la circonferenza circoscritta a BCI
=> preso un qualsiasi punto M su tale circonferenza, AM/MD=AI/ID=a quindi IM biseca l'angolo AMD

[EvaristeG]

Bingo, mattilgale!!!
Spero che tu non abbia sbirciato quella di phi

[mattilgale]

no parola di boyscout... però l'ho controllata dopo aver postato la mia....
cmq non mi sembra difficilissimo. non so perchè non lo risolva nessuno...