Raccogliendo l'implicita sfida, proporrei questo approccio.
Dapprima portiamo il problema nella forma
$ \frac{x^p z^q}{\alpha + z^q} + \frac{y^p x^q}{\alpha + x^q} +\frac{z^p y^q}{\alpha + y^q}\geqslant\frac{3}{\alpha+1} $
E successivamente studiamo il problema
M: $ \displaystyle \min x_1^{q/p} y_3+x_2^{q/p} y_1 + x_3^{q/p} y_2 $
sottoposto ai due vincoli
V1: $ \displaystyle x_1x_2x_3=1\qquad \text{moltiplicatore }\lambda $
V2: $ \displaystyle \sum_{i=1}^3 \left( (\alpha + x_i)y_i-x_i \right)^2 =\epsilon \qquad \text{moltiplicatore } \mu $
(non possiamo porre ex abrupto V2=0, pena un vincolo ben poco differenziabile,
ma giocare su un epsilon positivo arbitrariamente piccolo non muta le carte in tavola)
Si verifica immediatamente che gli $ y_i $ sono limitati,
in modo vagamente più faticoso che lo sono pure gli $ x_i $ nel minimo,
alché i moltiplicatori di Lagrange ci dicono che
$ \displaystyle \frac{q}{p} x_i^{q/p} y_{i-1}= \lambda + 2\mu x_i(y_i-1)\left((\alpha+x_i)y_i-x_i\right) $
Facendo tendere epsilon a zero la desiderata magia ha luogo, dato che, per V2, si ha
$ |(\alpha+x_i)y_i-x_i|\leq\sqrt\epsilon $
dunque, posto
$ \displaystyle g(c,d)=\frac{c^p d^q}{\alpha+d^q} $
abbiamo
$ g(x,z)=g(y,x)=g(z,y) $
Dato che $ g(c,d) $ cresce sia al crescere di $ c $ che di $ d $ (tenuta ferma l'altra variabile),
è facile verificare che l'unico ordinamento delle variabili x,y,z
compatibile con l'ultima relazione scritta è
$ x=y=z $
e da qui in poi è tutta discesa.
Nota di folklore: dato che sia la funzione da studiare che il vincolo
sono indifferenti rispetto ad uno shift ciclico delle variabili, il metodo
di Lagrange ci comunica che se il minimo è unico non può che
essere localizzato lungo la "trisettrice" x=y=z, questo anche a meno
di una algebrizzazione di comfort. Per rendere brutalmente
più sintetica la mia dimostrazione basterebbe dunque dimostrare
l'unicità del minimo... qualcuno si cimenta o lasciate che il peso
gravi sulle spalle del sottoscritto?
AMM -
http://www.amm.mb.ca/
Illuminazioni zen: le disuguaglianze sono fondamentali, se si vuol far bene in TdN. Quella che vi propongo è mia. Voglio proprio vedere se anche qui Jack trova il modo di metterci dentro i suoi dannatissimi moltiplicatori... 
Piuttosto m'avrebbero preso a pesci in faccia e riso alle spalle! 
E in ogni caso... Sei proprio certo di riuscire a concludere, procedendo a quel modo lì? Guarda che finirò per chiederti tutti i dettagli del caso, se mai dovesse essere necessario (e c'è da augurarsi che non lo sia!!!)... 
Vedi un po' di concludere, e in futuro (te lo chiedo come favore personale!) cerca di essere più preciso: già il tuo stile involuto rende difficoltoso il compito al lettore... Se poi dissemini qua e là errori di ogni sorta (anche solo notazionali o che ne so io!), beh... la questione (capiscimi!) si complica parecchio! 
