Sia $ ABCD $ un quadrilatero convesso con $ BC, DA $ uguali ma non paralleli. Siano E,F su di essi tali che $ BE=DF $.
Sia P l'intersezione delle diagonali e siano Q,R le intersezioni di $ EF $ con le diagonali.
Dimostrare che le circonferenze circoscritte a PQR hanno un punto in comune diverso da P al variare di E,F su BC, AD.
IMO 2005 - Problema B2
Boh, se non lo fa nessuno, lo faccio io...
PRIMA SOLUZIONE : Siano $ \Gamma_1, \Gamma_2 $ le circonferenze circoscritte a BCP e ADP; chiaramente sono congruenti e sia S il loro ulteriore punto di intersezione.
Ora, è chiaro SB=SD e SA=SC (angoli), dunque una rotazione di centro S porta DA su BC e F su E, quindi SE=SF.
Infine è facile capire che esiste una similitudine (omotetia + rotazione) che porta SDB su SAC e passa per SEF (angoli). Quindi SEF è simile a SBD e SCA; da questo con un po' d'angoli si ricava che SRPQ è ciclico.
SECONDA SOLUZIONE : esiste una affinità che porta DA su BC portando F su E, quindi le linee EF inviluppano una conica (per un "noto" teorema di geometria proiettiva); tale conica ha come tangente anche la retta all'infinito (se infatti permettiamo ai punti E,F di variare sulle rette BC e DA, quando uno si allontana all'infinito, anche l'altro lo fa e non vanno nello stesso punto in quanto DA e CB non sono parallele) quindi è una parabola. Di converso, se E si avvicina a B, F si avvicina a D e se E si avvicina a C, F si avvicina a A quindi anche le rette BD e CA sono tangenti alla parabola.
Ma allora PQR ha i lati su tre tangenti alla parabola, quindi il suo cerchio circoscritto passa per il fuoco di detta parabola (dimostratelo!!), che è il punto voluto.
PRIMA SOLUZIONE : Siano $ \Gamma_1, \Gamma_2 $ le circonferenze circoscritte a BCP e ADP; chiaramente sono congruenti e sia S il loro ulteriore punto di intersezione.
Ora, è chiaro SB=SD e SA=SC (angoli), dunque una rotazione di centro S porta DA su BC e F su E, quindi SE=SF.
Infine è facile capire che esiste una similitudine (omotetia + rotazione) che porta SDB su SAC e passa per SEF (angoli). Quindi SEF è simile a SBD e SCA; da questo con un po' d'angoli si ricava che SRPQ è ciclico.
SECONDA SOLUZIONE : esiste una affinità che porta DA su BC portando F su E, quindi le linee EF inviluppano una conica (per un "noto" teorema di geometria proiettiva); tale conica ha come tangente anche la retta all'infinito (se infatti permettiamo ai punti E,F di variare sulle rette BC e DA, quando uno si allontana all'infinito, anche l'altro lo fa e non vanno nello stesso punto in quanto DA e CB non sono parallele) quindi è una parabola. Di converso, se E si avvicina a B, F si avvicina a D e se E si avvicina a C, F si avvicina a A quindi anche le rette BD e CA sono tangenti alla parabola.
Ma allora PQR ha i lati su tre tangenti alla parabola, quindi il suo cerchio circoscritto passa per il fuoco di detta parabola (dimostratelo!!), che è il punto voluto.