$ \displaystyle f(1) + f(2) + ... + f(n) = \frac{f(n)f(n+1)}{2} $
per ogni $ n $.
A quanto ne so, il problema è nuovo. Spero vi piaccia
Salvatore
Funzionale... triangolare (self-posed)
Funzionale... triangolare (self-posed)
Determinare tutte le funzioni $ f(n) $ dal'insieme degli interi positivi in sé tali che:
$ \displaystyle f(1) + f(2) + ... + f(n) = \frac{f(n)f(n+1)}{2} $
per ogni $ n $.
A quanto ne so, il problema è nuovo. Spero vi piaccia
Salvatore
$ \displaystyle f(1) + f(2) + ... + f(n) = \frac{f(n)f(n+1)}{2} $
per ogni $ n $.
A quanto ne so, il problema è nuovo. Spero vi piaccia
Salvatore
Abbiamo che f(1)=[f(1)f(2)]/2. Poiché la funzione è negli interi positivi, f(1) è diverso da 0, e quindi f(2)=2.
Abbiamo inoltre che f(1)+...+f(n+1)=[f(n+1)f(n+2)]/2; sottraiamole l'uguaglianza del testo, e otteniamo:
f(n+1)=[f(n+1)f(n+2)-f(n)f(n+1)]/2
Da cui, visto che f(n+1)!=0, f(n+2)=f(n)+2.
Perciò le sole funzioni possibili, posto f(1)=k, sono quelle che danno f(2n)=2n e f(2n+1)=k+2n.
Verifichiamo che tali funzioni "funzionano"
f(1)+...+f(2n)=k+2+...+k+2(n-1)+2n=kn+(2n+2)n-2n=n(2n+k)=[f(2n)f(2n+1)]/2
inoltre
f(1)+...+f(2n+1)=k+2+...+2n+k+2n=k(n+1)+(2n+2)n=(k+2n)(n+1)=[f(2n+1)f(2n+2)]/2
Abbiamo inoltre che f(1)+...+f(n+1)=[f(n+1)f(n+2)]/2; sottraiamole l'uguaglianza del testo, e otteniamo:
f(n+1)=[f(n+1)f(n+2)-f(n)f(n+1)]/2
Da cui, visto che f(n+1)!=0, f(n+2)=f(n)+2.
Perciò le sole funzioni possibili, posto f(1)=k, sono quelle che danno f(2n)=2n e f(2n+1)=k+2n.
Verifichiamo che tali funzioni "funzionano"
f(1)+...+f(2n)=k+2+...+k+2(n-1)+2n=kn+(2n+2)n-2n=n(2n+k)=[f(2n)f(2n+1)]/2
inoltre
f(1)+...+f(2n+1)=k+2+...+2n+k+2n=k(n+1)+(2n+2)n=(k+2n)(n+1)=[f(2n+1)f(2n+2)]/2