diofantea arcotangente

[Franchifis]

Risolvere sugli interi:

$ \arctan a + \arctan b + \arctan c = 0 $

[HiTLeuLeR]

Se $ ab \neq 1 $, dalle formule di addizione della tangente: $ \displaystyle c = \frac{a+b}{ab-1} $. Adesso son soltanto noia... e triviali disuguaglianze. A vous...

[Franchifis]

Non conosco le formule di addizione della tangente. Dai, posta almeno la prima parte di soluzione! La mia soluzione è diversa e si basa su una formula arcinotissima.
Poi c'è nessuno che vuole risolvere $ abc=a+b+c $ per completare il problema?

[HiTLeuLeR]

Dev'essere $ \mbox{arctg}(-c) = \mbox{arctg} \;\!a + \mbox{arctg} \;\!b $, e perciò $ c = - \mbox{tg}(\mbox{arctg}\!\; a + \mbox{arctg} \!\; b) $. Senonché, per ogni $ x, y \in \mathbb{R} $, con $ x, y, x+y \neq \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi $, per $ k\in\mathbb{Z} $: $ \displaystyle\mbox{tg}(x+y) = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} = $ $ \displaystyle\frac{\sin x \cos y + \sin y \cos x}{\cos x \cos y - \sin x \sin y} = \frac{\mbox{tg}\;\! x + \mbox{tg}\;\! y}{1 - \mbox{tg} \;\! x \;\mbox{tg}\;\! y} $ (formule di addizione della tangente, si diceva...). Da qui, ponendo $ x = \mbox{arctg}\;\! a $ ed $ y = \mbox{arctg}\;\! b $, si trova appunto $ \displaystyle c = \frac{a+b}{ab-1} $, pur di ammettere $ ab \neq 1 $.