AIME 1985 - Problema 3

[Spider]

$ m $ ed $ n $ sono interi positivi tali che $ N = (m + ni)^3 - 107i $ è un intero positivo. Trovare $ N $.

Al solito, i diplomati non sono ammessi...

Salvatore

[fph]

$ i $ è l'unità immaginaria o un'altra variabile intera?

[ReKaio]

se fosse una variabile intera... di N ce ne sarebbero parecchi...

[frengo]

$ N = (m + ni)^3 - 107i $
$ N = m^3 + 3m^2ni - 3mn^2 - n^3i - 107i $
$ N = m(m^2 - 3n^2) + i(3m^2n - n^3 - 107) $

Affinchè N sia un intero la parte immaginaria deve essere uguale a 0.

$ 3m^2n - n^3 - 107 = 0 $
$ n(3m^2 - n^2) = 107 $

dato che 107 è primo, o $ n=1 $ o $ n=107 $

se $ n=1 $

$ 3m^2 - 1 = 107 $
$ m^2=36 $
$ m=6 $

quindi $ N = m(m^2 - 3n^2) = 6(36 - 3) = 198 $


se $ n=107 $

$ 3m^2 - 107^2 = 1 $

congruenza $ mod3: 3 - 1 = 2 \neq 1 $

quindi l'unica soluzione è N=198