Equazione goniometrica

[mark86]

E' data l'equazione

$ cos^4x+sin^4x=k $

dire per quali valori di $ k $ esistono soluzioni

[hexen]

Graficamente è evidente che si tratta di un intervallo chiuso essendo la funzione oscillante tra due valori.

trasformiamo l'equazione in
$ (1-\cos^2 x)^2+\cos^4 x = k $

poniamo $ \cos^2 x = k $

quindi si ha
$ (1-t)^2+t^2=k $ equazione di secondo grado per cui si ha
$ \Delta /4 = 2k-1 $
dovendo avere una o più soluzioni deve aversi $ k \geq \frac 1 2 $, primo estremo dell'intervallo.

usando il calcolo differenziale si calcola che la differenza fra il valore in un punto di minimo e il valore in un punto di massimo è $ \frac 1 2 $ quindi il secondo estremo dell''intervallo è 1/2+1/2=1

l'intervallo è $ k \in \left [ \frac 1 2;1 \right] $

ma dev'esserci qualche modo più elegante

[mark86]

Non ho capito come hai ottenuto il massimo valore di $ k $. Non esiste un metodo elementare più... liceale???

[hexen]

k=1/2 è il minimo valore. Con le derivate ho calcolato quant'è "alta" la funzione cioe 1/2 e il secondo estremo dell'intervallo è 1/2 più 1/2 cioè 1 ma, come ho detto, dev'esserci un modo più elegante per forza

[Boll]

Credo liceale, o giù di lì:

$ (\cos^2(x)+\sin^2(x))^2=\cos^4(x)+\sin^4(x)+2\cos^2(x)\sin^2(x) $

ma $ 2\cos(x)\sin(x)=\sin(2x) $ per Simpson e $ \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 $ quindi

$ \sin^4(x)+\cos^4(x)=1-\dfrac{\sin^2(2x)}{2} $
$ \sin^4(x)+\cos^4(x)=\dfrac{1+\cos^2(2x)}{2} $

ora studiarla dovrebbe essere banale poichè $ \min(cos^2(2x))=0 $ e $ \max(cos^2(2x))=1 $ il chè rende esattamente il risultato già raggiunto precedentemente

[mistergiovax]

E' data l'equazione

$ cos^4x+sin^4x=k $

dire per quali valori di $ k $ esistono soluzioni

Mi spiace, ma il nuovo forum non lo so usare e quindi, dopo l'anteprima mi si è cancellata la risposta.
Il metodo più facile che mi viene in mente è quello grafico: dopo aver posto cos^2x=t, viene (1-t)^2+t^2=k, a questo punto si pone y=t^2 e si mette a sistema (l'equazione nel frattempo è divenuta 2y-2t+1=k). non e' elegante, ma è il piu' facile che conosco