per CONFRONTO risultati...
1) $ (x^2 - 3)^x < (x^2 -3) $
2) $ log $ di base(x-2) $ (2x^2 -13x +21) >0 $
NB: mi basta il procedimento,ovvero, devo considerare ogni volta l'unione dei sistemi che scompongono le varie soluzioni?
nel numero 2 la condizione di esistenza del logaritmo dove la inserisco?
cose di analisi
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fur3770
In quanto funzione reale di variabile reale, la mappa $ x \mapsto \sin(\arcsin(x)) $ è definita in modo "naturale" sull'intervallo $ [-1, 1] $, ed è limitatamente a questo stesso intervallo che vale $ \sin(\arcsin(x)) = x $.
Similmente, la mappa $ x \mapsto \arcsin(\sin(x)) $ è definita per ogni $ x \in \mathbb{R} $ tale che $ -1 \leq \sin(x) \leq 1 $, condizione d'altro canto ovunque soddisfatta. Pertanto $ \arcsin(\sin(x)) = x $, qualunque sia $ x\in\mathbb{R} $.
I due casi in $ \cos $ e $ \arccos $ sono, ovviamente, analoghi.
Similmente, la mappa $ x \mapsto \arcsin(\sin(x)) $ è definita per ogni $ x \in \mathbb{R} $ tale che $ -1 \leq \sin(x) \leq 1 $, condizione d'altro canto ovunque soddisfatta. Pertanto $ \arcsin(\sin(x)) = x $, qualunque sia $ x\in\mathbb{R} $.
I due casi in $ \cos $ e $ \arccos $ sono, ovviamente, analoghi.
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fur3770
piu' che altro mi hanno confuso sulle periodicità.
Ad esempio se ho un sistema in cui compare una disuguaglianza con il seno (che ha periodicità 2kpi, e nello stesso sistema ho una disuguaglianza con la tangente ( che ha periodicità kpi) in quale intervallo mi restringo per studiare il sistema?
se la tangente la considero da -pi/2 a pi/2 non posso considerare il seno da 0 a 2kpi? Dovrei fare la tangente tra tra [0,pi/2] e tra [3/2pi, 2pi]?
con l'intervallo [-pi/2,pi/2] sto andando in senso contrario rispetto al senso antiorario stabilito per convenzione?
p.s: qualcuno mi mostra la risoluzione della disuguaglianza col log? So farla ma non vorrei fare casini di sistemi ...
Ad esempio se ho un sistema in cui compare una disuguaglianza con il seno (che ha periodicità 2kpi, e nello stesso sistema ho una disuguaglianza con la tangente ( che ha periodicità kpi) in quale intervallo mi restringo per studiare il sistema?
se la tangente la considero da -pi/2 a pi/2 non posso considerare il seno da 0 a 2kpi? Dovrei fare la tangente tra tra [0,pi/2] e tra [3/2pi, 2pi]?
con l'intervallo [-pi/2,pi/2] sto andando in senso contrario rispetto al senso antiorario stabilito per convenzione?
p.s: qualcuno mi mostra la risoluzione della disuguaglianza col log? So farla ma non vorrei fare casini di sistemi ...
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fur3770
Ti ho detto qualsiasi?! Dunque qualsiasi. 'azzo c'entrano i segni degli intervalli, scu'? 
I.e., considera la disequazione $ \sin(x) + \mbox{tg}(x) > 0 $, con $ x\in \mathbb{R} $. Questa è della forma $ f(x) > 0 $, dove $ f $ è una funzione reale di variabile reale periodica di periodo $ T = 2\pi $ e definita in $ \mathcal{D} = \mathbb{R}\!\setminus\!\{\pi/2 + k\pi\}_{k\in\mathbb{Z}} $. Possiamo pertanto restringere lo studio all'insieme $ \mathcal{D}_1 = \mathcal{D} \cap [0, 2\pi[ $, o anche all'insieme $ \mathcal{D}_2 = \mathcal{D} \cap ]-\pi, \pi] $. Di fatto scegliamo il secondo per una questione di pura comodità di calcolo. Osservando infatti che $ f $ è dispari, possiamo limitarci a studiarne il segno entro l'insieme $ \mathcal{D}^+ = \mathcal{D} \cap [0, \pi] = [0, \pi/2[ \cup ]\pi/2, \pi] $. Qui il seno trigonometrico è positivo, con sola eccezione dei punti $ 0 $ e $ \pi $. Di conseguenza $ f(x) > 0 $ sse $ 1 + 1/\cos(x) > 0 $, quando $ 0 < x < \pi $ e $ x \neq \pi/2 $, ovvero sse $ 0 < x < \pi/2 $. Sfruttando la disparità di $ f $, ne risulta allora $ f(x) > 0 $ sse $ -\pi < x < -\pi/2 $ oppure $ 0 < x < \pi/2 $, limitatamente all'insieme $ \mathcal{D}_2 $. E "recuperando" infine la periodicità $ f(x) > 0 $ sse $ \displaystyle x \in \left(\bigcup_{k = -\infty}^{+\infty} \left]-\pi + 2k\pi, -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\right) \cup \left(\bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} \left]2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\right) $, ossia (ma è soltanto una botta di culo!) sse $ \displaystyle x\in \bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} \left]k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right[ $.
I.e., considera la disequazione $ \sin(x) + \mbox{tg}(x) > 0 $, con $ x\in \mathbb{R} $. Questa è della forma $ f(x) > 0 $, dove $ f $ è una funzione reale di variabile reale periodica di periodo $ T = 2\pi $ e definita in $ \mathcal{D} = \mathbb{R}\!\setminus\!\{\pi/2 + k\pi\}_{k\in\mathbb{Z}} $. Possiamo pertanto restringere lo studio all'insieme $ \mathcal{D}_1 = \mathcal{D} \cap [0, 2\pi[ $, o anche all'insieme $ \mathcal{D}_2 = \mathcal{D} \cap ]-\pi, \pi] $. Di fatto scegliamo il secondo per una questione di pura comodità di calcolo. Osservando infatti che $ f $ è dispari, possiamo limitarci a studiarne il segno entro l'insieme $ \mathcal{D}^+ = \mathcal{D} \cap [0, \pi] = [0, \pi/2[ \cup ]\pi/2, \pi] $. Qui il seno trigonometrico è positivo, con sola eccezione dei punti $ 0 $ e $ \pi $. Di conseguenza $ f(x) > 0 $ sse $ 1 + 1/\cos(x) > 0 $, quando $ 0 < x < \pi $ e $ x \neq \pi/2 $, ovvero sse $ 0 < x < \pi/2 $. Sfruttando la disparità di $ f $, ne risulta allora $ f(x) > 0 $ sse $ -\pi < x < -\pi/2 $ oppure $ 0 < x < \pi/2 $, limitatamente all'insieme $ \mathcal{D}_2 $. E "recuperando" infine la periodicità $ f(x) > 0 $ sse $ \displaystyle x \in \left(\bigcup_{k = -\infty}^{+\infty} \left]-\pi + 2k\pi, -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\right) \cup \left(\bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} \left]2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\right) $, ossia (ma è soltanto una botta di culo!) sse $ \displaystyle x\in \bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} \left]k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right[ $.-
fur3770
nn ci siamo capiti
senx + tgx > 0 si riconduce a seni e coseni e nn ci sono problemi di periodicità
io intendevo
sistema:
disequazione che mi da' il risultato in termini di tangente.
senx>0
e di conseguenza come considerare gli intervalli di periodicità. Se la tangente la considero tra -pi/2 e pi/2 e il seno tra 0 e 2pi mi sa che c'è un errore concettuale perché quando prendiamo l'intervallo [-pi/2,pi/2] esso non è concorde con il verso convenzionale antiorario mentre [0,2pi] lo è. dunque come li prendo?
devo sempre considerare la tangente come sin/cos?
senx + tgx > 0 si riconduce a seni e coseni e nn ci sono problemi di periodicità
io intendevo
sistema:
disequazione che mi da' il risultato in termini di tangente.
senx>0
e di conseguenza come considerare gli intervalli di periodicità. Se la tangente la considero tra -pi/2 e pi/2 e il seno tra 0 e 2pi mi sa che c'è un errore concettuale perché quando prendiamo l'intervallo [-pi/2,pi/2] esso non è concorde con il verso convenzionale antiorario mentre [0,2pi] lo è. dunque come li prendo?
devo sempre considerare la tangente come sin/cos?
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fur3770
Il punto che non mi è chiaro è quando prendo gli intervalli [-pi/2,3/2pi] ad esempio e devo studiare una cosa lì dentro che cambia rispetto a se la studio in [0,2pi]?
Per la tangente ad esempio se devo studiare
tgx>0 vabbè banale... mi restringo in ]-pi/2,pi/2[, so che ha periodo kpi e quindi trovo la soluzione x=0 a cui aggiungo la periodicità.
Mi è parso di sentire a lezione ma non ero attento, ovvero stavo svolgendo l'esercizio per conto mio, che se considero l'intervallo della tangente lo scegliamo come [0,pi/2] U [3/2pi,2pi], insomma rispettando il verso antiorario e partendo dallo zero, cambia qualcosa rispetto a se avessi scelto il classico ]-pi/2,pi/2[ <- (ma questo intervallo va preso chiuso o aperto?). Mi chiedo: cosa?
Per la tangente ad esempio se devo studiare
tgx>0 vabbè banale... mi restringo in ]-pi/2,pi/2[, so che ha periodo kpi e quindi trovo la soluzione x=0 a cui aggiungo la periodicità.
Mi è parso di sentire a lezione ma non ero attento, ovvero stavo svolgendo l'esercizio per conto mio, che se considero l'intervallo della tangente lo scegliamo come [0,pi/2] U [3/2pi,2pi], insomma rispettando il verso antiorario e partendo dallo zero, cambia qualcosa rispetto a se avessi scelto il classico ]-pi/2,pi/2[ <- (ma questo intervallo va preso chiuso o aperto?). Mi chiedo: cosa?
No che non cambia nulla, ma cerchiamo comunque di capire in che senso...
Prendiamo dunque il caso della disequazione $ \mbox{tg}(x) > 0 $. In quanto funzione reale di variabile reale, la tangente trigonometrica è definita in modo naturale nell'insieme $ \mathcal{D} = \mathbb{R}\!\setminus\!\left\{\pi/2 + k\pi: k \in \mathbb{Z}\right\} $, ed è inoltre periodica di periodo $ T = \pi $. Onde risolvere la disequazione proposta, possiamo perciò restringerci all'insieme $ \mathcal{D}_1 = \mathcal{D} \cap [\pi/4, 5\pi/4[ = [\pi/4, \pi/2[ \cup ]\pi/2, 5\pi/4[ $, come pure a $ \mathcal{D}_2 = \mathcal{D} \cap [-\pi/2, \pi/2[\, = \,]-\pi/2, \pi/2[ $ o a qualsiasi altro insieme ottenuto intersecando $ \mathcal{D} $ con un qualche intervallo reale di ampiezza $ T $.
Caso i): restringiamoci a $ \mathcal{D}_1 $. Allora $ \mbox{tg}(x) > 0 $ sse $ \pi/4 \leq x < \pi/2 $ oppure $ \pi < x < 5\pi/4 $. Da qui, recuperando la periodicità, si conclude globalmente che $ \mbox{tg}(x) > 0 $ sse $ x \in \bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} ([\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[ \:\cup\: ]\pi + k\pi, 5\pi/4 + k\pi[) $.
Caso ii): restringiamoci a $ \mathcal{D}_2 $. Allora $ \mbox{tg}(x) > 0 $ sse $ 0 < x < \pi/2 $, e quindi (recuperata ancora la periodicità) sse $ x \in \bigcup_{k = -\infty}^{+\infty} ]k\pi, \pi/2 + k\pi[ $.
Senonché $ \bigcup_{k = -\infty}^{+\infty} ]k\pi, \pi/2 + k\pi[ $ $ =\, \bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} ([\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[ \:\cup \:]\pi + k\pi, 5\pi/4 + k\pi[) $, per cui le due soluzioni sono perfettamente allineate, come del resto ci si attendeva che fosse.
Prendiamo dunque il caso della disequazione $ \mbox{tg}(x) > 0 $. In quanto funzione reale di variabile reale, la tangente trigonometrica è definita in modo naturale nell'insieme $ \mathcal{D} = \mathbb{R}\!\setminus\!\left\{\pi/2 + k\pi: k \in \mathbb{Z}\right\} $, ed è inoltre periodica di periodo $ T = \pi $. Onde risolvere la disequazione proposta, possiamo perciò restringerci all'insieme $ \mathcal{D}_1 = \mathcal{D} \cap [\pi/4, 5\pi/4[ = [\pi/4, \pi/2[ \cup ]\pi/2, 5\pi/4[ $, come pure a $ \mathcal{D}_2 = \mathcal{D} \cap [-\pi/2, \pi/2[\, = \,]-\pi/2, \pi/2[ $ o a qualsiasi altro insieme ottenuto intersecando $ \mathcal{D} $ con un qualche intervallo reale di ampiezza $ T $.
Caso i): restringiamoci a $ \mathcal{D}_1 $. Allora $ \mbox{tg}(x) > 0 $ sse $ \pi/4 \leq x < \pi/2 $ oppure $ \pi < x < 5\pi/4 $. Da qui, recuperando la periodicità, si conclude globalmente che $ \mbox{tg}(x) > 0 $ sse $ x \in \bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} ([\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[ \:\cup\: ]\pi + k\pi, 5\pi/4 + k\pi[) $.
Caso ii): restringiamoci a $ \mathcal{D}_2 $. Allora $ \mbox{tg}(x) > 0 $ sse $ 0 < x < \pi/2 $, e quindi (recuperata ancora la periodicità) sse $ x \in \bigcup_{k = -\infty}^{+\infty} ]k\pi, \pi/2 + k\pi[ $.
Senonché $ \bigcup_{k = -\infty}^{+\infty} ]k\pi, \pi/2 + k\pi[ $ $ =\, \bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} ([\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[ \:\cup \:]\pi + k\pi, 5\pi/4 + k\pi[) $, per cui le due soluzioni sono perfettamente allineate, come del resto ci si attendeva che fosse.
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fur3770
Giusto perché era stato chiesto...
Mi pare che la disequazione $ (x^2-3)^x<(x^2-3) $ si possa risolvere distinguendo i due casi:
A)
$ (0<x^2-3<1) \cap (x-1>0) $
$ (3<x^2<4) \cap (x>1) $
$ ((\sqrt{3}<x<2) \cup (-2<x<-\sqrt{3})) \cap (x>1) $
$ \sqrt{3}<x<2 $
B)
$ (x^2-3>1) \cap (x-1<0) $
$ (x^2>4) \cap (x<1) $
$ x<-2 $
E poi unendo i risultati:
$ (x<-2) \cup (\sqrt{3}<x<2) $
Modulo errori di conto
E volevo dire un'altra cosa: la funzione $ f(x)=arcsin(sin(x)) $ è ben lontana dall'essere la funzione identica $ x \mapsto x $, infatti per esempio $ arcsin(sin(2 \pi)) = arcsin(0) = 0 $
Già che ci sono... per vedere se una funzione $ f:D \to C $ è iniettiva imponi la condizione $ f(x_1)=f(x_2) $ e deve risultarti $ x_1=x_2 $ per ogni $ (x_1,x_2) \in D^2 $.
Per vedere se la stessa f è suriettiva imposti l'equazione nell'incognita $ x $, $ f(x)=y $ che dovrà ammettere almeno una soluzione per ogni $ y \in C $.
Ciao
Mi pare che la disequazione $ (x^2-3)^x<(x^2-3) $ si possa risolvere distinguendo i due casi:
A)
$ (0<x^2-3<1) \cap (x-1>0) $
$ (3<x^2<4) \cap (x>1) $
$ ((\sqrt{3}<x<2) \cup (-2<x<-\sqrt{3})) \cap (x>1) $
$ \sqrt{3}<x<2 $
B)
$ (x^2-3>1) \cap (x-1<0) $
$ (x^2>4) \cap (x<1) $
$ x<-2 $
E poi unendo i risultati:
$ (x<-2) \cup (\sqrt{3}<x<2) $
Modulo errori di conto
E volevo dire un'altra cosa: la funzione $ f(x)=arcsin(sin(x)) $ è ben lontana dall'essere la funzione identica $ x \mapsto x $, infatti per esempio $ arcsin(sin(2 \pi)) = arcsin(0) = 0 $
Già che ci sono... per vedere se una funzione $ f:D \to C $ è iniettiva imponi la condizione $ f(x_1)=f(x_2) $ e deve risultarti $ x_1=x_2 $ per ogni $ (x_1,x_2) \in D^2 $.
Per vedere se la stessa f è suriettiva imposti l'equazione nell'incognita $ x $, $ f(x)=y $ che dovrà ammettere almeno una soluzione per ogni $ y \in C $.
Ciao
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
$ log_{x-2}(2x^2-13x+21)>0 $
$ log_{x-2}(2x^2-13x+21)>log_{x-2}(1) $
A)
$ (2x^2-13x+21>1) \cap (x-2>1) $
$ (2(x-4)(x-\frac{5}{2})>0) \cap (x>3) $
$ ((x<\frac{5}{2})\cup(x>4)) \cap (x>3) $
$ x>4 $
B)
$ (2x^2-13x+21<1) \cap (0<x-2<1) $
$ (2(x-4)(x-\frac{5}{2})<0) \cap (2<x<3) $
$ (\frac{5}{2}<x<4) \cap (2<x<3) $
$ \frac{5}{2}<x<3 $
$ (\frac{5}{2}<x<3) \cup (x>4) $
Ora imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo ottengo $ 2x^2-13x+21>0 $ cioè $ (x<3)\cup(x>\frac{7}{2}) $, quindi la soluzione trovata è accettabile.
$ log_{x-2}(2x^2-13x+21)>log_{x-2}(1) $
A)
$ (2x^2-13x+21>1) \cap (x-2>1) $
$ (2(x-4)(x-\frac{5}{2})>0) \cap (x>3) $
$ ((x<\frac{5}{2})\cup(x>4)) \cap (x>3) $
$ x>4 $
B)
$ (2x^2-13x+21<1) \cap (0<x-2<1) $
$ (2(x-4)(x-\frac{5}{2})<0) \cap (2<x<3) $
$ (\frac{5}{2}<x<4) \cap (2<x<3) $
$ \frac{5}{2}<x<3 $
$ (\frac{5}{2}<x<3) \cup (x>4) $
Ora imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo ottengo $ 2x^2-13x+21>0 $ cioè $ (x<3)\cup(x>\frac{7}{2}) $, quindi la soluzione trovata è accettabile.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
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fur3770
Martino ha scritto:Giusto perché era stato chiesto...
Mi pare che la disequazione $ (x^2-3)^x<(x^2-3) $ si possa risolvere distinguendo i due casi:
A)
$ (0<x^2-3<1) \cap (x-1>0) $
$ (3<x^2<4) \cap (x>1) $
$ ((\sqrt{3}<x<2) \cup (-2<x<-\sqrt{3})) \cap (x>1) $
$ \sqrt{3}<x<2 $
B)
$ (x^2-3>1) \cap (x-1<0) $
$ (x^2>4) \cap (x<1) $
$ x<-2 $
E poi unendo i risultati:
$ (x<-2) \cup (\sqrt{3}<x<2) $
Modulo errori di conto
E volevo dire un'altra cosa: la funzione $ f(x)=arcsin(sin(x)) $ è ben lontana dall'essere la funzione identica $ x \mapsto x $, infatti per esempio $ arcsin(sin(2 \pi)) = arcsin(0) = 0 $
Già che ci sono... per vedere se una funzione $ f:D \to C $ è iniettiva imponi la condizione $ f(x_1)=f(x_2) $ e deve risultarti $ x_1=x_2 $ per ogni $ (x_1,x_2) \in D^2 $.
tutto d'accordo tranne per il fatto dell'arcoseno... altrimenti anche le varie sqrt(x)=x^1/2 non sarebbero lecite. Per come detto da te considerarla funzione identica sarebbe lecito solo quando si fa la funzione inversa ad ambo i membri di un'equazione...
$ x = f(y) $intendevi? Ovvero ne faccio l'inversa e controllo che ogni valore del dominio dell'inversa ha un valore nel codominio dell'inversa. ma in che modo dimostro il 'per ogni'?Per vedere se la stessa f è suriettiva imposti l'equazione nell'incognita $ x $, $ f(x)=y $ che dovrà ammettere almeno una soluzione per ogni $ y \in C $.
il ''per ogni'' come lo dimostro?Già che ci sono... per vedere se una funzione $ f:D \to C $ è iniettiva imponi la condizione $ f(x_1)=f(x_2) $ e deve risultarti $ x_1=x_2 $ per ogni $ (x_1,x_2) \in D^2 $.
Ciao