Ti faccio un paio di esempi.
Prendiamo $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $, $ f(n)=n+3 $.
Vediamo se è iniettiva:
$ f(n_1)=f(n_2) $
$ n_1+3=n_2+3 $
$ n_1=n_2 $
Si, è iniettiva. Vedi che partendo da $ f(n_1)=f(n_2) $ ho ottenuto $ n_1=n_2 $ senza imporre condizioni particolari su $ n_1 $ o $ n_2 $. Ciò significa che quello che ho provato vale per ogni coppia $ (n_1,n_2)\in\mathbb{N}^2 $.
Vediamo se è suriettiva:
$ f(n)=m $
$ n+3=m $
$ n=m-3 $
Significa che affinché $ f(n)=m $ basta scegliere $ n=m-3 $. Ma questo significa che l'equazione $ f(n)=m $ non ha soluzioni per ogni m. Infatti se scelgo $ m=1 $ ottengo come unica scelta di n il valore $ 1-3=-2 $, ma -2 non appartiene al dominio, che è $ \mathbb{N} $. Quindi f non è suriettiva.
Un altro esempio: la funzione $ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, $ f(x)=x^2-1 $.
Iniettività: $ x_1^2-1=x_2^2-1 $, $ x_1^2=x_2^2 $, ora è evidente che se $ x_1=x_2 $ la cosa è vera. Ma posso scegliere anche $ 1=x_1=-x_2 $, e otterrei comunque $ 1^2=(-1)^2 $, cioè $ 1=1 $. Quindi la g non è iniettiva.
Suriettività: $ x^2-1=y $, $ x^2=y+1 $. Devo risolvere questa equazione in x. È chiaro che non posso scegliere una qualunque $ y\in\mathbb{R} $, infatti non appena $ y<-1 $ ottengo per $ x^2 $ un valore negativo, il che è impossibile (i.e. non esiste nessun $ x \in \mathbb{R} $ tale che $ x^2 <0 $). Quindi l'equazione $ g(x)=y $ non ammette soluzioni per tutti gli $ y\in\mathbb{R} $. Quindi g non è suriettiva.
La funzione $ sin:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, $ x \mapsto sin(x) $ non è iniettiva. Infatti scelto un valore raggiunto (che appartiene all'immagine), per esempio 1, ci sono infiniti numeri reali mappati in esso: $ sin(\frac{\pi}{2}+2k\pi)=1 $ per ogni $ k\in\mathbb{Z} $. Inoltre non è suriettiva, infatti per esempio l'equazione $ sin(x)=2 $ non ammette nessuna soluzione.
Però per esempio la funzione $ g:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1] $, $ g(x)=sin(x) $ è una biiezione, cioè è sia iniettiva che suriettiva.
Un altro esempio: diciamo che A è l'insieme delle coppie $ (a,b) $ dove a e b sono numeri naturali compresi tra 1 e 6 (una tale coppia può rappresentare il doppio lancio di un dado), e B è l'insieme {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Inoltre definisco la funzione $ f:A \to B $, $ f((a,b))=a+b $. Quindi è come lanciare un dado due volte e leggere la somma dei punteggi. La funzione f è ben definita, nel senso che $ f((a,b)) \in B $ per ogni $ (a,b) \in A $, e per vederlo basta calcolare f per tutti gli elementi di A, che sono in numero finito.
La funzione f è suriettiva, infatti:
$ f((1,1))=2 $, $ f((1,2))=3 $, $ f((2,2))=4 $, $ f((2,3))=5 $, $ f((3,3))=6 $, $ f((3,4))=7 $, $ f((4,4))=8 $, $ f((4,5))=9 $, $ f((5,5))=10 $, $ f((5,6))=11 $, $ f((6,6))=12 $.
Ovvero, scegliendo comunque un elemento di B, che è il codominio, trovo una coppia (elemento di A) tale che f lo mappi nell'elemento di B scelto.
Ma la funzione f non è iniettiva, infatti $ f((3,4))=f((5,2))=7 $.
Ciao
cose di analisi
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fur3770
grazie 6 stato chiarissimo.
p.s: l'iniettività non si può dimostrare analogamente partendo da $ x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2) $ ? quindi tu usi la proposizione logica inversa, ovvero
A=>B -------------> !B => !A
se uso la A=>B ovvero quella che ho enunciato sopra $ x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2) $ non posso dimostrare la iniettività ma solo fare controesempi?
p.s: l'iniettività non si può dimostrare analogamente partendo da $ x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2) $ ? quindi tu usi la proposizione logica inversa, ovvero
A=>B -------------> !B => !A
se uso la A=>B ovvero quella che ho enunciato sopra $ x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2) $ non posso dimostrare la iniettività ma solo fare controesempi?
Poiché si ha
$ (A \Rightarrow B)\Leftrightarrow(!B \Rightarrow !A) $
puoi tranquillamente dimostrare che $ f:D \to C $ è iniettiva considerando $ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $. Quando questo vale per ogni $ (x_1,x_2) \in D^2 $ la f è iniettiva.
$ (A \Rightarrow B)\Leftrightarrow(!B \Rightarrow !A) $
puoi tranquillamente dimostrare che $ f:D \to C $ è iniettiva considerando $ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $. Quando questo vale per ogni $ (x_1,x_2) \in D^2 $ la f è iniettiva.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
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fur3770
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fur3770
la prossima settimana ho una prova. tratta di funzioni, iniettività, suriettività, invertibilità e varie
+ equazioni e disequazioni intrecciate con valori assoluti,radici... insomma una palla...
ma quando studio le funzioni da punto di vista delle loro proprietà ''iniettiva'',''suriettiva'' bisogna fare considerazioni sul loro insieme di definizione? Ad esempio facendo i limiti agli estremi??
Non ci hanno fatto vedere un briciolo di questi esercizi tranne esempi banali
+ equazioni e disequazioni intrecciate con valori assoluti,radici... insomma una palla...
ma quando studio le funzioni da punto di vista delle loro proprietà ''iniettiva'',''suriettiva'' bisogna fare considerazioni sul loro insieme di definizione? Ad esempio facendo i limiti agli estremi??
Non ci hanno fatto vedere un briciolo di questi esercizi tranne esempi banali