A meta' tra geometria ed analisi:poligoni inscritti&cern

[elianto84]

Questione sollevata da MindFlyer:
Ma e' vero che fissata la lunghezza dei lati di un poligono ed il loro ordine,
e rispettata la disuguaglianza triangolare tra i lati, esiste un poligono ciclico
con quei lati in quell'ordine?

Risposta fru-fru del sottoscritto:
Beh, si'. Pensiamo al poligono come ad una spezzata di N segmenti,
incernierati l'uno all'altro ma in modo che gli estremi siano liberi.
Se sistemiamo questo aggeggio in modo che i vertici (i "cardini")
giacciano su una circonferenza di raggio molto grande, gli estremi
non coincideranno, ma al rimpicciolirsi del raggio, per continuita',
prima o poi si toccheranno.

Giusto? No, o perlomeno, non del tutto. Lascio scovare a voi
il buco del ragionamento, anticipandovi che e' una "falla classica"
(ricordate il problema del treno e della leva incardinata al pavimento di
un vagone? Beh, siamo molto vicini a quel discorso)

Questione sollevata da Ma_go:
Ma e' vero che per qualunque curva chiusa nel piano esiste un quadrato
con i vertici che giacciono sulla curva?

Risposta fru-fru del sottoscritto:
Beh, si'. Pensiamo ad una spezzata incernierata di quattro segmenti
congruenti i cui cardini vadano sistemati sulla curva assegnata. Se il
lato (la lunghezza di ogni segmento) e' sufficientemente piccolo gli
estremi dell'aggeggio non si toccheranno, ma al crescere del lato,
per continuita', prima o poi coincideranno. Preso dunque un punto
qualunque sulla curva, esiste un parallelogramma i cui vertici giacciono
sulla curva e includono il punto preso in considerazione.
Esiste dunque una mappa da p[0] sulla curva a (p[1] p[2] p[3]) sulla
curva tale che p[0]p[1]p[2]p[3] sia un parallelogramma, ed una funzione
f(p[0]) = ||p[3]-p[1]|| / ||p[2]-p[0]|| che ci comunica quanto vale la tangente
dell'angolo determinato da p[0], dal suo "predecessore" e dal suo "successore".
Ma il fatto che l'angolo in p[0] sia acuto implica che l'angolo in p[1] sia ottuso,
(fate un disegno), e in generale, poiche' siamo in un parallelogramma,
f(p)f(p[i+1]) = 1
per continuita' della f esistera' dunque un qualche punto Z sulla curva
tale che f(Z)=1, e Z con i suoi parenti determinera' il voluto quadrato "inscritto".

Giusto? Ma neanche per idea, anzi il ragionamento contiene almeno
due errori grossolani (che, come prima, lascio cogliere alla vostra arguzia).

Auto-confutazione del sottoscritto:
Pensiamo ad una generica ellisse. Per lei, poverina, esistera' un solo candidato
"quadrato inscritto". Chiamiamo W uno dei suoi vertici ed operiamo una piccola
deformazione sull'ellisse, sostituendo ad esempio ad un intorno di W una minuscola
cuspide che non contenga W. A patto di essere stati sadici a sufficienza,
per l'ellisse modificata non vi saranno "candidati quadrati inscritti", e questo
smonta con brutalita' il discorso precedente.

Elementi di fede del sottoscritto:
Sono ora abbastanza convinto del fatto che il teorema sia falso per generiche
curve chiuse nel piano, ma che sia vero per curve lisce, risistemando a dovere
la quasi-dimostrazione di qualche riga fa.

Qual e' il vostro pensiero in merito?

[ma_go]

ehm.. io a mia volta avevo preso quella questioncina da mathlinks, dove gli ultimi aggiornamenti lo dicono problema ancora aperto..
quindi, una simpatica "open question"

[MindFlyer]

ricordate il problema del treno e della leva incardinata al pavimento di un vagone?

No...

[jim]

Questione sollevata da MindFlyer:
Ma e' vero che fissata la lunghezza dei lati di un poligono ed il loro ordine,
e rispettata la disuguaglianza triangolare tra i lati, esiste un poligono ciclico
con quei lati in quell'ordine?

Secondo me sì: ricordo di aver trovato questo problema da qualche parte e di aver pensato alla stessa dimostrazione che tu riporti come esempio di "falla classica".

(ricordate il problema del treno e della leva incardinata al pavimento di
un vagone? Beh, siamo molto vicini a quel discorso)

Sì, conosco quel problema, riportato in due parti in "che cos'è la matematica", in quello, però, si aveva a che fare con una "situazione di arresto", quando l'angolo assumeva valori di 180° o 0°, situazione che metteva in crisi il concetto di "dipendenza continua del valore finale dell'angolo al variare di quello iniziale", nel caso di condizioni al contorno.
Nel caso del poligono invece non vedo alcun condizionamento: se conosciamo l'esistenza di un poligono con lati di una determinata lunghezza in un determinato ordine, allora si potrà operare nel modo da te descritto; in altre parole, assumendo che si possa sempre tagliare il poligono ad un vertice, e sistemare la spezzata aperta in un cerchio molto grande con i vertici sulla circonferenza, non vedo alcuna condizione che mi impedisca di stabilire che al diminuire del raggio, i due estremi della spezzata si avvicinino con continuità.

[elianto84]

Beh ma se un lato della spezzata diventa diametro del tuo cerchio
non c'è verso di stringere ulteriormente...