Iperderivazione

[Martino]

L'iperderivazione è una cosa che non c'entra nulla con l'analisi, perché puramente algebrica. Dato un polinomio del tipo $ f(x_1,...,x_n) $, definisco $ D_{\alpha}(f(x)) $, dove $ (\alpha_1,...,\alpha_n) = \alpha \in \mathbb{N}^n $, come il coefficiente di $ y_1^{\alpha_1}...y_n^{\alpha_n} $ nel polinomio $ f(x_1+y_1,...,x_n+y_n) $. Ovvero:

$ f(x_1+y_1,...,x_n+y_n)=\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n}(D_{\alpha}(f(x)))y_1^{\alpha_1}...y_n^{\alpha_n} $

Evidentemente gli elementi della sommatoria sono tutti nulli tranne un numero finito.

Non mi piace non portare esempi, quindi esempio: $ f(x,y)=3 x y-2 x y^2+x $. Ora calcoliamo $ f(x+z,y+w) $.

$ f(x+z,y+w) = 3(x+z)(y+w)-2(x+z)(y+w)^2+(x+z) = $
$ 3xy+3xw+3zy+3zw-2(x+z)(y^2+2yw+w^2)+x+z= $
$ 3xy+3xw+3zy+3zw-2xy^2-4xyw- $ $ 2xw^2-2zy^2-4zyw-2zw^2+x+z= $
$ (3xy-2xy^2+x)+(3x-4xy)w+ $ $ (3y-2y^2+1)z+(3-4y)zw+(-2x)w^2+(-2)zw^2 $

Ora, in base alla definizione si hanno i seguenti risultati:

$ D_{(0,0)}(f(x,y))=3xy-2xy^2+x $
$ D_{(1,0)}(f(x,y))=3y-2y^2+1 $
$ D_{(0,1)}(f(x,y))=3x-4xy $
$ D_{(1,1)}(f(x,y))=3-4y $
$ D_{(0,2)}(f(x,y))=-2x $
$ D_{(1,2)}(f(x,y))=-2 $

Gli altri sono tutti nulli.
Mi accorgo che $ D_{\alpha}(f(x)) $ è uguale alla derivata parziale in multiindice $ \alpha $, modulo una costante moltiplicativa, nel senso che, per esempio,

$ D_{(0,0)}(f(x,y))=f(x,y) $, $ D_{(1,0)}(f(x,y))=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) $, $ D_{(0,1)}(f(x,y))=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) $, $ D_{(1,1)}(f(x,y))=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) $, $ D_{(0,2)}(f(x,y))=\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) $, $ D_{(1,2)}(f(x,y))=\frac{1}{2} \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}(x,y) $

E vi chiedo: quanto si sa di questo? Esiste un modo di esprimere la costante moltiplicativa che è il rapporto tra $ D_{\alpha}(f(x_1,...,x_n)) $ e la derivata parziale in multiindice $ \alpha $?

[EvaristeG]

Ho spostato in matematica non elementare questo thread.

Per il futuro : "algebra" ha da intendersi, come tutte le altre voci del forum, corredata dell'aggettivo "olimpica", quindi non anelli campi derivazioni moduli e simili, ma polinomi, disuguaglianze, massimi e minimi, numeri complessi etc etc.

Inoltre, per quanto effettivamente la derivazione formale non ha alcun legame (formale, sempre) con l'analisi, la tua domanda tende a crearne e cose come le derivate parziali non sono proprio un argomento olimpico.

Già che siamo in tema, ti invito, se non l'hai ancora fatto, a dare una lettura ad alcuni thread significativi sull'uso del forum, in sezioni tipo il Comitato accoglienza nuovi utenti o simili.

Buona Navigazione

EvaristeG