Siccome non sapevo dove mettere questo simpatico problemino lo caccio su algebra:
sia data la funzione che appartiene a R radice x-esima di x (non ho voglia di usare il tex).
$ \displaystyle{x\to\sqrt[x]{x}} $
Dimostrare che raggiunge il suo massimo valore in x=e
lo dico ai bravi: non risolvetemelo subito,grazzzzzzzie
azzardo una dimostrazione, ma premetto che ho scarse conoscenze di analisi, spero di non scrivere troppe fesserie!
ovviamente il dominio della funzione è $ D=\{x>0\} $
---------------------- [Le parentesi graffe si fanno con \{ e \}. Se poi vuoi specificare che l'altezza delle parentesi si adatti al contenuto (cosa che è buona norma fare sempre), puoi usare \left\{ e \right\}. Ti ricordo che per fare le prove con LaTeX c'è un'area apposita sul Forum. M.]
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ora, se $ x\inD $ è massimo o minimo della funzione, allora $ f^{'}(x)=0 $ per il teorema di Fermat.
per annullare la derivata, almeno uno dei due termini dev'essere =0. ma $ e^{\frac{lnx}{x}} $ essendo un'esponenziale non può essere nulla. Quindi necessariamente $ \frac{1-lnx}{x^{2}}=0 $ da cui $ 1-lnx=0 $ quindi $ x=e $ è l'unico valore per cui la derivata si annulla, ma può essere un punto di massimo, di minimo o di flesso. Ora, sicuramente non è un punto di flesso, poichè $ f(x) $ è sempre concava. Notiamo che per $ 0<x<1 $ l'esponente $ \frac{lnx}{x}<0 $, mentre per $ x\geq1 $ l'esponente è$ \geq0 $. Essendo $ e>1 $, allora $ f(e)>f(x) $ quando $ 0<x<1 $ Quindi $ f(e) $ non può essere minimo, sarà allora massimo
