Algebra... folle

[ubermensch]

Spostato in MNE -- talpuz

posto una serie di esercizi (su alcuni dei quali sto ancora riflettendo).. magari qualche folle vuole condividere il mal di testa...

1) determinare gli automorfismi di R

2) sia F il campo di spezzamento di x^3 - 2 su Q. Determinare il gruppo di Galois di F su Q

3) per ogni naturale n determinare il gruppo di Galois di F(p^n) su F(p); dove si indica con F(p^k) il campo finito di ordine p^k.

4) dimostrare che per ogni estensione algebrica di un campo di caratteristica 0, il polinomio minimo di un generico elemento di tale estensione non ha radici multiple.

5) sia F una famiglia di polinomi non costanti a coefficienti in un campo E. Dimostrare che esiste unico a meno di isomorfismi il campo di spezzamento di F su E (questo è facile per famiglie finite... ma per famiglie infinite???!!!)

....

Saluti,

Valerio

[EvaristeG]

Beh, innanzitutto ti inviterei a leggere le varie regole del forum che sono sparse un po' dovunque (credo soprattutto nel comitato accoglienza nuovi utenti) e a fare attenzione alle sezioni in cui posti i tuoi problemi.

Poi ... per quanto riguarda gli automorfismi di R, intenderò gli automorfismi del campo dei reali e dunque :
sia $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ autom. di campi; allora $ f(\mathbb{Q})=\mathbb{Q} $ e inoltre, se $ y>0 $, $ y=x^2 $ e quindi $ f(y)=(f(x))^2>0 $, per cui f preserva i razionali e l'ordinamento, quindi preserva tutti i reali, quindi $ f(x)=x\ \forall\ x\in\mathbb{R} $.

[Marco]

4) dimostrare che per ogni estensione algebrica di un campo di caratteristica 0, il polinomio minimo di un generico elemento di tale estensione non ha radici multiple.

E' un po' che non mastico più questa roba, comunque, direi che:

Un campo di caratteristica 0 è perfetto. Se un polinomio ha una radice doppia, è riducibile. Un polinomio minimo è irriducibile.

[FrancescoVeneziano]

Le radici multiple di cui si parla naturalmente sono nella chiusura algebrica, perché un polinomio minimo è irriducibile per definizione, e dire che un campo è perfetto è equivalente *per definizione* a dire che i polinomi irriducibili non hanno radici multiple nella chiusura.

La dimostrazione usuale è la seguente: Se il polinomio irriducibile f(x) avesse radici multiple nella chiusura algebrica, esse comparirebbero anche come radici della derivata e quindi il massimo comun divisore tra f(x) ed f'(x) (che è a coefficienti nel campo) avrebbe grado positivo, ma f è irriducibile quindi l'unica possibilità è che f|f'
Questo è impossibile perché f' è diverso da 0 (qui si usa l'ipotesi di caratteristica 0) ed ha grado più basso di quello di f.

Non conosco dimostrazioni che non passino per questo ragionamento e mi sembra che Marco abbia usato la tesi sotto mentite spoglie adoperando un fatto equivalente per definizione.

CaO
Francesco

[Marco]

perché un polinomio minimo è irriducibile per definizione,

Non mi risulta. Per me un polinomio minimo è il polinomio di grado minimo che si annulla blablì e blablà. Che poi sia anche irriducibile, è un altro paio di maniche (e non è detto dappertutto: chi è il polinomio minimo della matrice (01/00)? )

Per quanto riguarda l'obiezione della "tesi sotto mentite spoglie", è verissimo. In effetti, l'esercizio 4 può essere riformulato come:

Dimostrare che un campo di char 0 è perfetto.

[Marco]

Per il (5):

Il candidato naturale è il campo minimale in cui tutti gli elementi di F si spezzano.

Se dimostri che questa cosa scritta sopra ha senso, hai fatto.

- esiste almeno un campo in cui tutti gli elementi di F si spezzano? (facile, se ci pensi un attimo...)

- l'intersezione di una famiglia [non vuota!!!!] di campi è un campo?

- se un polignomo si spezza in tutti i campi di una famiglia, si spezza nell'intersezione?

Se riesci a rispondere sì a tutte e tre le domande, hai vinto.

[FrancescoVeneziano]

Per me un polinomio minimo è il polinomio di grado minimo che si annulla blablì e blablà. Che poi sia anche irriducibile, è un altro paio di maniche

Hai ragione tu.
Stavo pensando al caso con coefficienti in un campo, allora il polinomio minimo è necessariamente irriducibile, non per definizione ma perché se si fattorizzasse in modo non banale uno dei due fattori sarebbe un polinomio di grado ancora più piccolo risolto dall'elemento.

CaO

[EvaristeG]

perché un polinomio minimo è irriducibile per definizione,

Non mi risulta. Per me un polinomio minimo è il polinomio di grado minimo che si annulla blablì e blablà. Che poi sia anche irriducibile, è un altro paio di maniche (e non è detto dappertutto: chi è il polinomio minimo della matrice (01/00)? )

Ehm, ma qui stiamo parlando di campi, che sono domini di integrità, in particolare (cosa che non è l'anello delle matrici), quindi se $ f $ è un generatore dell'ideale dei polinomi che si annullano in un certo elemento a, f deve essere irriducibile, altrimenti se $ f=pq $, si avrà o $ p(a)=0 $ o $ q(a)=0 $ quindi uno dei due apparterrà all'ideale, ma allora f non è un generatore.

[Marco]

Ok. Abbiamo dato tutti Algebra I (chi in questo millennio, chi nel precedente...) e sappiamo tutti che quel lemmino è vero. Solo che facevo notare al buon F.V. che è irriducibile non per definizione, ma in virtù di quel lemmino (elementare finché vuoi, ma comunque necessario) che hai dimostrato. Just for pignolery's sake...

[EvaristeG]

Sì, sì, ok ...

3) Intanto, $ f:\mathbb{F}_{p^n}\to\overline{\mathbb{F}_p} $ definita con $ f(x)=x^p $ è un elemento del gruppo di Galois (fissa il campo base per il piccolo teor di Fermat).
Ovviamente il gruppo di Galois cercato avrà ordine n.
Inoltre, $ ord(f)=k|n $ e dunque $ f^k(x)=x\ \forall\ x\in\mathbb{F}_{p^n} $, quindi tutti gli elementi del campo soddisfano il polinomio $ q(x)=x^{p^k}-x $.
Ma allora $ p^k\geq p^n $, ovvero $ k=n $.
Quindi $ \mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F})=<f> $.

[Martino]

Ciao a tutti.
Ho un dubbio. La dimostrazione che se $ \sigma: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ è automorfismo allora è l'identità (ho detto bene?) da un po' non mi è del tutto chiara.
Non si dovrebbe supporre $ \sigma $ $ \mathbb{Q} $-automorfismo? EvaristeG, tu dici

sia $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ autom. di campi; allora $ f(\mathbb{Q})=\mathbb{Q} $

Perché? Io come unica spiegazione ho sentito "perché $ \mathbb{Q} $ è il sottocampo fondamentale di $ \mathbb{R} $". Ma non ho compreso. E poi che $ f $ fissi $ \mathbb{Q} $ non vuol dire che fissa ogni suo elemento.

[EvaristeG]

In effetti sono stato un po' sbrigativo ...

allora, $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ è un automorfismo di campi, quindi
$ f(0)=0\quad f(1)=1 $; inoltre, si ha $ n=1+1+\ldots+1 $ quindi
$ f(n)=f(1+\ldots+1)=f(1)+\ldots+f(1)=nf(1)=n $, e del resto, $ f(m/n)=f(m)/f(n)=m/n $.
Quindi ogni elemento razionale è punto fisso dell'automorfismo.

Più in generale, se ho un campo $ \mathbb{K} $, posso considerare gli elementi neutri $ 0,1\in\mathbb{K} $ e l'insieme
$ A=\{0, 1, 1+1, 1+1+1, \ldots\, 0-1, 0-1-1, \ldots} $
Ho due possibilità :
a) l'insieme A è infinito
b) l'insieme A è finito.
Si verifica subito che A è un anello e che se è infinito, è isomorfo a $ \mathbb{Z} $; se invece è finito, tenendo presente che è sottoinsieme di un campo e dunque è un dominio di integrità (oltre ad essere generato da un solo elemento), si vede che è isomorfo a $ \mathbb{Z}_p $.
Ma poichè $ \mathbb{K} $ è un campo, vale che $ A\subseteq\mathbb{K} \Rightarrow cdf(A)\subseteq\mathbb{K} $, dove cdf(A) indica il campo delle frazioni di A.
Questo vuol dire che ogni campo contiene uno dei seguenti campi fondamentali:
a) $ \mathbb{Q} $ se A è infinito, ovvero se $ char\mathbb{K}=0 $
b) $ \mathbb{F}_p $ se A è finito (e dunque ha p elementi con p primo), ovvero se $ char\mathbb{K}=p $.

[Marco]

Guarda, è un risultato classico. Fai così:

Lemma 1 Un isomorfismo di campi fissa il campo di base (o come hai detto? fondamentale?)

Perché una funzione possa avere qualche speranza di essere un isomorfismo, deve mandare 0 in 0 e 1 in 1. Da questo, per induzione, sai anche che 2 deve andare in 2, 3 in 3, ecc..., ossia fissa i "naturali" (le virgolette sono d'obbligo, dato che la caratteristica potrebbe non essere 0).

Poi, deve essere un isomorfismo di gruppi rispetto alla somma, quindi anche -1 va in -1, -2 in -2, ecc... quindi deve fissare anche gli "interi". Inoltre inoltre deve rispettare i prodotti e i quozienti, quindi fissa anche le "frazioni".

In generale, perciò, un isomorfismo di campi deve fissare il campo di base (Q o Z mod p, a seconda della caratteristica). []

Lemma 2 Una funzione da R in R che ristretta ai razionali è l'identità e che matiene l'ordine, è l'identità su tutto R.

Nota che EvG, ti ha provato che un isomorfismo R/Q rispetta le ipotesi. Succede che

x<y sse y-x>0 sse f(y-x)>0 sse f(x)<f(y).

A questo punto si usa la definizione dei reali come sezione dei razionali (la definizione di Dedekind, ricordi?): un numero reale è identificabile con l'insieme dei razionali che sono <= di lui.

Sia allora x un reale. Studiamo f(x). Chi è l'insieme di razionali che lo identifica? Sia A l'insieme dei razionali più piccoli di x. Applico f() a tutti gli elementi di A. f() fissa i razionali, quindi f(A) = A. Del resto f() rispetta l'ordine quindi l'immagine dell'insieme di identificazione di x è l'insieme di identificazione dell'immagine di x [la spiego meglio: q = f(q) <= f(x) sse q <= x] Ne segue che gli insiemi di identificazione di x e f(x) coincidono, e quindi x = f(x). []