x^(x+y) = y^(y-x)

[Simo_the_wolf]

Trovare tutte le coppie $ (x,y) $ di interi positivi tali che

$ \displaystyle x^{x+y}=y^{y-x} $

[hydro]

posterei un timido inizio...
ditemi dove sbaglio

dunque

x e y sono interi positivi $ \rightarrow x^{x+y} $ è un intero positivo$ \rightarrow y^{y-x} $ lo è $ \rightarrow y \geq x $

dopo qualche rimaneggiamento, $ \displaystyle(xy)^{x}=(\frac{y}{x})^{y} $
da qui necessariamente y dev'essere multiplo di x o sbaglio?

[Simo_the_wolf]

non sbagli

[hydro]

quindi poniamo $ y=kx $ con k naturale, e sostituendo troviamo che $ (kx^{2})^{x}=k^{kx} $

ora la parte su cui sono più dubbioso

è lecito estrarre la radice $ x-esima $ poichè x è intero positivo, da cui $ kx^{2}=k^{k} \rightarrow x^{2}=k^{k-1} $ perchè x sia un intero positivo, $ k^{k-1} $ dev'essere un quadrato perfetto, e ciò accade con k dispari. Quindi $ y=(2n+1)x $ con n naturale

[ReKaio]

$ k^{k-1} $ dev'essere un quadrato perfetto, e ciò accade con k dispari. Quindi $ y=(2n+1)x $ con n naturale

anche con k quadrato di un pari

[HiTLeuLeR]

Mi chiedo... Perché non cercare della stessa equazione le soluzioni in numeri razionali positivi? Su, cari, rilancio...